Supongamos que es alguna función continua
es un conjunto de valores reales, y nos gustaría calcular
con la precisión prescrita
¿Hay algunos resultados sobre la dificultad de este problema para varias f?
Por ejemplo, supongamos que . El mínimo de nuestro problema ahora es la media de las x, fácil de calcular. Por otro lado, supongamos que , no hay una solución de forma cerrada, por lo que parece que argmin es más difícil de calcular ... ¿o no?
Motivación: este problema de minimización surge cuando se ajustan modelos a los datos. El primer ejemplo de f es el ajuste de mínimos cuadrados y el segundo f es la regresión logística.
Editar : acabo de ver una pregunta relacionada , y está en el espíritu de lo que estaba preguntando, para una elección particular de f
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Puede que ya lo sepas, pero si f es una divergencia de Bregman , entonces este argumento siempre tiene una solución fácil. La forma específica depende del orden de los parámetros, pero si la expresión que se minimiza es
donde es una divergencia de Bregman, entonces la respuesta es siempre la media de . Si el orden de los parámetros es al revés, puede utilizar la dualidad de las divergencias de Bregman. Específicamente, si es generado por una función estrictamente convexa , entonces la solución es significa dada por .F Xyo F ϕ ϕ C
Otro caso interesante es cuando es la norma euclidiana (no al cuadrado). En ese caso, el argumento mínimo es el conocido punto de Fermat-Weber , y ha sido ampliamente estudiado en investigación de operaciones. Hay un esquema iterativo globalmente óptimo para resolverlo, pero no hay una expresión de forma cerrada.F
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