La norma de corte de una matriz real es el máximo sobre todo de la cantidad.
Defina la distancia entre dos matrices y para que sea
¿Cuál es la cardinalidad de la -net más pequeña del espacio métrico ?
es decir, el tamaño del subconjunto más pequeño tal que para todo , existe una tal que .
(EDITAR: se me olvidó mencionar, pero también estoy interesado en "no apropiado" -nets, con - es decir, si los elementos de la -net tiene entradas fuera de [0,1], que también es interesante.)
Estoy interesado en los límites superiores e inferiores.
Tenga en cuenta que las técnicas de sparsifier de corte implican -nets para las métricas de corte, pero dan algo más fuerte de lo que necesito: dan un -net para el que puede encontrar eficientemente un punto -close a cualquier matriz simplemente tomando muestras de eso matriz. Uno podría imaginar que existen redes mucho más pequeñas para las cuales no puede simplemente muestrear, encuentre un punto -close a una matriz arbitraria.
Inicialmente hice esta pregunta aquí en Mathoverflow.
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Respuestas:
Aquí hay una estimación fácil. Aquí llamamos a un conjunto S ⊆ X una red ε de un espacio métrico X cuando para cada punto x ∈ X , existe un punto s ∈ S tal que la distancia entre x y s es como máximo ε . Si desea una desigualdad estricta en la definición de ε -net, puede modificar ligeramente el valor de ε .
Sostiene que || A || ∞ ≤ || A || C ≤ n 2 || A || ∞ , donde || A || ∞ denota el entrywise max-norma de un n × n matriz A .
Es fácil construir una red ε del espacio métrico ([0,1] N , d ∞ ) con un tamaño ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N , y no es difícil demostrar que este tamaño es el mínimo. (Para mostrar la minimidad, considere los puntos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N cuyas coordenadas son múltiplos de 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ y demuestre que la distancia entre dos de estos puntos es mayor que 2 ε .) Al establecer N = n 2 y combinar esto con la comparación antes mencionada entre la norma de corte y la norma máxima, la cardinalidad mínima de un ε-net con respecto a la norma de corte es al menos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ n 2 y como máximo ⌈ n 2 / (2 ε ) ⌉ n 2 .
Actualización : si mi cálculo es correcto, el argumento de volumen puede obtener un mejor límite inferior Ω ( n / ε ) n 2 . Para hacer esto, necesitamos un límite superior en el volumen de una bola ε con respecto a la norma de corte.
Primero consideramos la "norma de corte" de un solo vector, que es el máximo entre la suma de elementos positivos y la suma negada de elementos negativos. No es difícil demostrar que el volumen de una bola ε en ℝ n con respecto a esta "norma de corte" es igual a
A continuación, ya que la norma corte de un n × n matriz A es mayor que o igual a la norma de corte de cada fila, el volumen de un ε -ball en ℝ n × n es como máximo el n ésima potencia del volumen de una ε -ball en ℝ n . Por lo tanto, el tamaño de una red ε de [0,1] n × n debe ser al menos
donde la última igualdad es un cálculo aburrido en el que usamos la fórmula de Stirling : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).
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