Combinación perfecta de peso mínimo con un número par de bordes rojos

Considere una gráfica ponderada con algunos bordes rojos. Estamos interesados ​​en encontrar una coincidencia perfecta, de modo que el número de bordes rojos sea uniforme, y bajo las restricciones anteriores, el peso se minimiza.

¿Es este problema solucionable en tiempo polinómico? ¿Incluso para gráficos bipartitos?

¿Qué pasa con una extensión natural? El caso donde hay un número constante de colores, y el número de bordes de cada color en la coincidencia debe ser par.

Creo que su problema puede resolverse en tiempo polinómico aleatorio, si los pesos están limitados polinomialmente en el tamaño de la gráfica. Puede utilizar un enfoque basado en el algoritmo de coincidencia algebraico de Mulmuley, Vazirani y Vazirani. Ha sido útil para aplicaciones similares en el pasado, ver por ejemplo la Proposición 9 y la discusión anterior en el artículo de Daniel Marx https://doi.org/10.1016/j.ipl.2003.09.016 .

$n$$W$$(nW+1) + x$$[0 ... nW]$$[2(nW+1) ... 2(nW+1) + nW]$

Por lo tanto, para encontrar una coincidencia de peso mínimo con un número par de bordes rojos, es suficiente revisar todos los rangos de peso correspondientes a las coincidencias con un número par de bordes rojos, probando para cada peso en ese rango si hay una combinación perfecta de ese peso, y escalar el peso de cada coincidencia re-ponderada en función del número de bordes rojos contenidos en él, para determinar cuál de estos corresponde a la coincidencia perfecta de peso mínimo incluso rojo en su gráfico original. Mediante las técnicas estándar de auto-reducción, también puede extraer la coincidencia en sí misma en lugar de solo el valor, pero es posible que tenga que aumentar la probabilidad de éxito haciendo múltiples pruebas para obtener una buena probabilidad general de éxito al hacer la auto-reducción.

El problema es el tiempo polinómico solucionable.

Después de discutir con Vivek Madan , podemos demostrar que la prueba del Teorema 5.1 en Perfect Matching in Bipartite Planar Graphs también está en UL en el contexto ponderado (su resultado es decidir si hay una solución factible).

$R$$M$$|M\cap R|$$C$$M$$|C\cap R|$$M$$M\triangle C$

$M\triangle C$

El problema se reduce a encontrar un ciclo alterno que contenga un número impar de bordes rojos.

Para los gráficos bipartitos, el problema es fácil, ya que puede reducirse a encontrar un ciclo impar de peso mínimo en un gráfico dirigido sin ciclos negativos. Lo que parece ser solucionable en tiempo polinómico por varias cuentas (pero no puedo encontrar una cita concreta). Un algoritmo similar a Floyd-Warshall es suficiente. Para gráficos generales, un enfoque similar funciona, pero la reducción es un poco más complicada. En realidad, no sabemos cómo hacerlo para gráficos generales.

Tenga en cuenta que el caso del gráfico bipartito en realidad se desprende de un teorema más general. Aquí citamos directamente el siguiente problema de Artmann, Weismantel, Zenklusen 17

Paridad de optimización de TU

$T$$rank(T)=n$$b\in > \mathbb{Z}^m,c\in \mathbb{Z}^n,\alpha\in \{0,1\}$$S\subset [n]$

$$\max\{c^T x: Tx\leq b, x\in \mathbb{Z}^n_{\geq 0}, x(S)\equiv \alpha \pmod 2\}$$

La optimización de la paridad TU se puede resolver en tiempo polinómico, y el caso bipartito de nuestro problema se reduce a ello. (Tenga en cuenta que el se satisface fácilmente al requerir para todo ).$rank(T)=n$$x_i\geq 0$$i$

No tenemos idea del caso en el que hay un número constante de colores.