W [1] - problemas duros con algoritmos de aproximación de tiempo FPT

Estoy buscando problemas que son difíciles de resolver en tiempo FPT pero que tiene un algoritmo de aproximación. Es decir, problemas que son:

R1. W [1] -duro.

R2. Admita un algoritmo de aproximación (preferiblemente constante) en tiempo FPT.

El problema con el que estoy familiarizado es contar el número de rutas simples de longitud en un gráfico. Se sabe que es #W [1] -duro , pero admite una aproximación ( 1 + ϵ ) en el tiempo FPT (para cualquier constante ϵ ).$k$$(1+\epsilon)$$\epsilon$

También serían interesantes los problemas que satisfacen R1 y R2, y también:

R3. Existe modo que el problema no es ( 1 + ϵ ) aproximable en el tiempo FPT (a menos que W [1] = FPT).$\epsilon>0$ $(1+\epsilon)$

¿Qué otros problemas satisfacen R1 y R2, y posiblemente R3?

$G$$S$$G-S$$k$$k$

$[1]$$2^{k^{O(1)}}n^{O(1)}$$FPT \neq W[1]$$\epsilon > 0$$(1+\epsilon)$$f(k)n^{O(1)}$

En [1], los autores prueban que MaxSAT parametrizado por el ancho de la camarilla (resp. Diversidad de vecinos) del gráfico de incidencia de la fórmula CNF tiene un FPT-AS (esquema de aproximación manejable de parámetro fijo) pero se sabe que MaxSAT parametrizado por ancho de camarilla (resp. diversidad de vecinos) es W [1] -hard.

El teorema se basa principalmente en un resultado de [2] que dice aproximadamente que una gráfica de ancho de camarilla acotada sin grandes camarillas también tiene un ancho de árbol acotado. De este modo, recortan la fórmula de forma inteligente para que no tengan una gran camarilla en el gráfico de incidencia y resuelven la fórmula reducida en tiempo FPT usando un algoritmo bien conocido para MaxSAT en el ancho de árbol acotado. Supongo que este enfoque también puede funcionar en otros problemas.

[1] Holger Dell, Eun Jung Kim, Michael Lampis, Valia Mitsou, Tobias Mömke: Complejidad y aproximabilidad de los MAX-CSP parametrizados. IPEC 2015

[2] Gurski, F. y Wanke, E. (2000, junio). El ancho de árbol de los gráficos acotados de ancho de camarilla sin K n, n . En Taller internacional sobre conceptos teóricos de grafos en informática (pp. 196-205). Springer, Berlín, Heidelberg.

$G$$\Delta^*$$G$$\Delta^*$$\Delta^*=0$

$(3/2-\epsilon)$

[1] Rémy Belmonte, Michael Lampis y Valia Mitsou: coloración defectuosa parametrizada (aproximada). STACS '18.

El problema de k-cut es eliminar un número mínimo de bordes para crear al menos k componentes. W [1] duro cuando está parametrizado por k pero admite una aproximación de 2 para cualquier k.

(Esta pregunta se hizo hace dos años, pero publicaré la respuesta para otras personas que puedan ver esta pregunta).

$k$$F$$f$$u_f \in \mathbb{Z}_{\geq0}$$C$$d$$F\cup C$$k$$S \subseteq F$$k$$\phi:C\rightarrow S$$|\phi^{-1}(f)| \leq u_{f}$$f \in S$$\sum_{c\in C} d(c,\phi(C))$$W[2]$$k$https://arxiv.org/pdf/1708.04218.pdf )