Estoy tratando de entender la relación entre el isomorfismo gráfico y el problema oculto de subgrupos. ¿Hay una buena referencia para esto?
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Estoy tratando de entender la relación entre el isomorfismo gráfico y el problema oculto de subgrupos. ¿Hay una buena referencia para esto?
Respuestas:
Se pueden encontrar referencias en la respuesta de martinschwarz, pero aquí hay un resumen de un par de reducciones.
El grupo simétrico actúa sobre gráficas de n vértices al permutar los vértices. Determinar si dos gráficos son isomórficos es un tiempo de polinomio equivalente a calcular un conjunto generador de tamaño polinómico para A u t ( G ) .Snorte A u t ( G )
Reducción al HSP sobre el grupo simétrico (donde n es el número de variables en el gráfico). La función f es f ( p ) = p ( G ) , donde p es una permutación en S n , y p ( G ) es la versión permutados de G . Entonces f es constante en cosets de A u t ( G ) y distinto en cosets distintos (tenga en cuenta que la imagen de fSnorte norte F F( p ) = p ( G ) pags Snorte p ( G ) sol F A u t ( G ) F consiste en todos los gráficos isomorfos a ). Dado que el subgrupo oculto es exactamente A u t ( G ) , si pudiéramos resolver este HSP, tendríamos el conjunto generador para A u t ( G ) , que es todo lo que necesitamos para resolver GI (ver arriba).G Aut(G) Aut(G)
Reducción al HSP más de . Si queremos saber si dos gráficos G y H en n vértices son isomórficos, considere el gráfico K, que es la unión disjunta de G y H en 2 n vértices. Deje Z / 2 Z actúan sobre los vértices mediante el canje de i con n + i para i = 1 , . . . , N . Ya sea ASn≀Z/2Z G H n K G H 2n Z/2Z i n+i i=1,...,n o A u t ( K ) = ( A u t ( G ) × A u t ( H ) ) s e m i d i r e c t Z / 2 Z . Como antes, deje f ( xAut(K)=Aut(G)×Aut(H) Aut(K)=(Aut(G)×Aut(H))semidirectZ/2Z donde x es ahora un elemento de S n ≀ Z / 2 Z que actúa sobre K como se describe. El subgrupo oculto asociado a f es exactamente A u t ( K ) , como en la reducción anterior. Si resolvemos este HSP, obtenemos un conjunto generador para A u t ( K ) . Entonces es fácil verificar si el conjunto generador contiene algún elemento que intercambie la copia de G con la copia de H dentrof(x)=x(K) x Sn≀Z/2Z K f Aut(K) Aut(K) G H (tienecomponente Z / 2 Z no trivial).K Z/2Z
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Es posible que desee leer la reciente publicación de blog de Dave Bacon sobre isomorfismo gráfico con enlaces a la literatura.
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"Algoritmos cuánticos para problemas algebraicos" por Andrew Childs y Wim van Dam arXiv: 0812.0380 es un muy buen trabajo de encuesta que contiene una buena introducción del HSP no abeliano y su relación con el isomorfismo gráfico.
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