Matriz balanceada explícita

¿Es posible construir una explícita 0 / 1 -matrix con N 1,5 queridos tal que cada N 0.499 × N 0,499 submatriz contiene menos de N 0,501 queridos?$N \times N$ $0/1$$N^{1.5}$$N^{0.499} \times N^{0.499}$$N^{0.501}$

O probablemente sea posible construir un conjunto de golpes explícito para dicha propiedad.

Es fácil ver que la matriz aleatoria tiene esta propiedad con probabilidad exponencialmente cercana a . Además, el lema de mezcla del expansor no es suficiente para derivar esta propiedad.$1$

Supongo que los generadores pseudoaleatorios que engañan a los rectángulos combinatorios podrían ayudar aquí, pero están diseñados para distribuciones uniformes y básicamente necesito aquí.$B(N^2, N^{-0.5})$

Lo que está buscando es un extractor de un bit para dos fuentes independientes: una función , de modo que, siempre que X, Y sean variables aleatorias con entropía mínima 0.499 * log (N), E (X, Y) está casi equilibrado.mi: [ N] × [ N] → { 0 , 1 }$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$$E:[N]\times [N]\to \{0,1\}$

Es un problema difícil notorio. Para los parámetros que desea, creo que fue resuelto por Bourgain. Ver aquí: http://www.cs.washington.edu/homes/anuprao/pubs/bourgain.pdf

Esta respuesta se basa en la idea de Dana en su respuesta anterior.

Creo que puede construir una matriz de este tipo utilizando condensadores con pérdida de dos fuentes. Arregle y diga N = 2 n . Suponga que tiene una función explícita f ( x , y ) que toma cualquier dos fuentes independientes aleatorios ( X , Y ) , cada uno de longitud n y que tienen min-entropía al menos k = n ( 1 / 2 - δ ) y emite una secuencia de de n ′ = n /$\delta = 0.001$$N=2^n$$f(x,y)$$(X, Y)$$n$$k = n(1/2 - \delta)$$n' = n/2$bits que se -cerca de una distribución con min-entropía al menos k ' = n ( 1 / 2 - 3 δ ) . Creo que puede usar argumentos probabilísticos estándar para mostrar que una función aleatoria satisface estas propiedades (con una probabilidad abrumadora) si 2 k > k ′ + log ( 1 / ϵ ) + O ( 1 ) . El argumento probabilístico debe ser similar al utilizado en el siguiente documento para condensadores sin pérdidas y conductores más generales:$\epsilon$$k'=n(1/2-3\delta)$$2k > k'+\log(1/\epsilon)+O(1)$

M. Capalbo, O. Reingold, S. Vadhan, A. Wigderson. Aleatoriedad de conductores y expansión de grado constante más allá del grado / 2 barrera

En nuestro caso, establecemos , por lo que estamos seguros de la existencia de la función que necesitamos. Ahora, un argumento promedio muestra que hay una cadena z de n ′ bits tal que el número de ( x , y ) con f ( x , y ) = z es al menos 2 1.5 n . Supongamos que conoce tal z y lo arregla (puede elegir cualquier z arbitraria$\epsilon = 2^{-k'}$$n'$$z$$(x,y)$$f(x,y)=z$$2^{1.5 n}$$z$$z$si además sabe que su función asigna la distribución completamente uniforme a una distribución que es -cierre a uniforme). Ahora identifique las entradas de su matriz N × N por las posibilidades de ( x , y ) y ponga un 1 en la posición ( x , y ) iff f ( x , y ) = z . Por nuestra elección de z , esta matriz tiene al menos 2 1.5 $O(2^{-n/2})$$N \times N$$(x,y)$$1$$(x,y)$$f(x,y)=z$$z$$2^{1.5n}$ unos.

Ahora tome cualquier submatriz de y deje que X , Y sean distribuciones uniformes en las filas y columnas seleccionadas, respectivamente. Por la elección de f , sabemos que f ( X , Y ) está ϵ cerca de tener una entropía mínima k ′ . Por lo tanto, si elegimos una entrada aleatoria uniforme de la submatriz, la probabilidad de tener un 1 es como máximo 2 - k ′ + ϵ ≤ 2 - k ′ + $2^k \times 2^k$$X, Y$$f$$f(X,Y)$$\epsilon$$k'$$1$$2^{-k'}+\epsilon\leq 2^{-k'+1}$. Esto significa que tiene como máximo en la submatriz, según lo desee.$2^{2k-k'+1} = O(2^{n/2 + \delta})$

Por supuesto, llegar a una f explícita con los parámetros deseados (en particular, una longitud de salida casi óptima) es una tarea muy desafiante y no se conoce tal función hasta ahora.$f$