El problema del ciclo hamiltoniano (HC) consiste en encontrar un ciclo que atraviese todos los vértices en un gráfico no dirigido dado. El problema del vendedor ambulante (TSP) consiste en encontrar un ciclo que atraviese todos los vértices en un gráfico ponderado de borde dado y minimice la distancia total medida por la suma de los pesos de los bordes en el ciclo. HC es un caso especial de TSP, y se sabe que ambos son NP completos [Garey & Johnson]. (Consulte los enlaces anteriores para obtener más detalles y variantes de estos problemas).
¿Hay clases de gráficos estudiados en los que el problema del ciclo de Hamilton se pueda resolver en tiempo polinómico mediante un algoritmo no trivial , pero el problema del vendedor ambulante es NP-difícil?
No trivial es excluir clases como la clase de gráficos completos, donde se garantiza que existe un ciclo hamiltoniano y se puede encontrar fácilmente, o generalmente clases de gráficos donde siempre se garantiza que existe un HC.
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¿Qué tal gráficos completos ? Dado que TSP siempre se puede reducir a una instancia en gráficos completos (agregando distancias apropiadas entre los no bordes), todavía es NP-difícil resolver TSP en gráficos completos. Pero cualquier gráfico completo es hamiltoniano.
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Hay muchas clases infinitas de gráficos que se sabe que tienen circuitos hamiltonianos. Dos clases especialmente interesantes son los n-cubos y los gráficos de Halin. Una forma de pensar en los gráficos de Halin es incrustar un árbol con al menos 3 vértices y que no tenga vértices de valencia dos en el plano, y luego pasar un circuito simple a través de los vértices de 1 valente del árbol.
http://en.wikipedia.org/wiki/Halin_graph
Se sabe que estos gráficos tienen un HC y, de hecho, son pancíclicos (circuitos de todas las longitudes) o carecen exactamente de una longitud de circuito que debe ser de longitud uniforme.
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