¿Mejorando la reducción genérica de Cook para Clique to SAT?

Estoy interesado en reducir -Clique a SAT sin hacer que la instancia sea mucho más grande.$k$

Clique está en NP, por lo que puede reducirse a SAT utilizando espacio logarítmico. La reducción directa del libro de texto de Garey / Johnson explota la instancia a un tamaño cúbico . Sin embargo, -Clique está en P para cada k fijo, por lo que "debería" haber una reducción eficiente al menos para k fijo .$k$$k$$k$

Una forma de construir la reducción es mediante el uso de las variables SAT como un vector característico , con una variable que se establece en verdadero que indica que el vértice asociado está en la camarilla. Esta reducción es natural pero crea una instancia SAT de tamaño cuadrático si el gráfico es escaso. Para un gráfico escaso, se requieren muchas cláusulas cuadráticamente para hacer cumplir que en cada par de vértices no adyacentes, como máximo, un vértice pueda estar en la camarilla.

Tratemos de hacerlo mejor que .$O(n^2)$

La reducción genérica de Cook / Schnorr / Pippenger / Fischer funciona tomando primero un NDTM polinomialmente limitado que decide el idioma, simulando el NDTM por un DTM ajeno, simulando el DTM ajeno por un circuito y luego simulando el circuito por un 3 -SAT instancia. Esto crea una instancia 3-SAT de tamaño si el límite de tiempo NDTM es t ( n ) . El factor de registro parece inevitable debido a la sobrecarga cuando se simula en una máquina ajena. Para k -Clique uno parece tener t $O(t(n)\log t(n))$$t(n)$$k$ , que produce una instancia 3-SAT detamaño O ( n k ( log n + log k ) ) , que escuasilinealpara k fijo. En su artículo de 1988, Cook preguntó si existe una mejor reducción genérica para los idiomas en NP, y que yo sepa, todavía está abierto. Sin embargo, Clique tiene mucha estructura, por lo que quizás uno pueda mejorar en este caso.$t(n) = O(nk)$$O(nk(\log n + \log k))$$k$

¿Existe una mejor reducción conocida de Clique a SAT?

$k$$k$

(He estado trabajando con una reducción que parece evitar el factor de registro, pero antes de perder más tiempo en los detalles sangrientos para verificar su corrección, me gustaría saber si tal reducción ya se conoce, o si es poco probable que lo haga). existe.)

$k$$O(nk)$$O(nk^2)$$k$$n$

$x_{iv}=1$$v$$i$$x_i$$i$$nk$

$(i,j)$$n$$(\neg x_{iu} \lor x_{jv_1} \lor \dots \lor x_{jv_m})$$v_1,\dots,v_m$$u$$u$$O(nk^2)$

$i$$x_i$$x_i < x_{i+1}$$O(n)$$O(nk)$

$k \lg n$$\lg n$$i$$k$$k(k-1)/2$$O((n+m+k^2) \text{poly}(\lg n))$$m =$