Defina como un gráfico dirigido al azar ( vértices; colocamos el borde entre dos vértices con probabilidad ).n p
¿Cuáles son los resultados conocidos para el siguiente problema?
Fijar dos vértices y . ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una ruta (de longitud como máximo ) entre y ? (claramente el resultado debería ser una función de , y ). El límite superior también funcionaría si no se conoce una respuesta exacta.
Respuestas:
Considere un proceso de exploración BFS, que procede en etapas. Ponga . DadoV 0 = { u } V 0 , … , V ik V0 0= { u } V0 0, ... , Vyo , explore todos los bordes desde hasta V ∖ ⋃ i j = 0 V j (donde V es el conjunto de todos los vértices), y configure V i + 1 para que conste de todos los vértices alcanzados de esta manera ; su número tiene una distribución binomial que se puede calcular fácilmente. Después de k pasos, verifique si el vértice v pertenece a ⋃ k j = 0 VVyo V∖ ⋃yoj = 0Vj V Vi + 1 k v .⋃kj = 0Vj
Tenga en cuenta que este proceso es exactamente el mismo tanto en el caso no dirigido como en el dirigido. Por lo tanto, la respuesta, sea cual sea, es idéntica para ambos modelos. Presumiblemente, en el caso no dirigido, la respuesta es conocida y puede consultarse. De lo contrario, puede intentar estimarlo estimando los tamaños y entonces la probabilidad 1El | VyoEl | quevpertenece a⋃ k i = 1 Vi.1n - 1∑ki = 1El | VyoEl | v ⋃ki = 1Vyo
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