Este blog habla de generar "pequeños laberintos retorcidos" usando una computadora y enumerándolos. La enumeración se puede hacer usando el algoritmo de Wilson para obtener el UST , pero no recuerdo la fórmula de cuántos hay.
http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike
En principio, el teorema del árbol de matriz establece que el número de árboles de expansión de un gráfico es igual al determinante de la matriz laplaciana del gráfico. Supongamos que sea el gráfico y sea la matriz de adyacencia, sea la matriz de grados, luego con valores propios , luego:
En el caso de un rectángulo tanto como los valores propios deberían tomar una forma particularmente simple, que no puedo encontrar.
¿Cuál es la fórmula exacta (y los asintóticos) para el número de árboles de expansión de un rectángulo ?
Aquí hay un bonito ejemplo del algoritmo de Wilson en acción.
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Respuestas:
De acuerdo con https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf, no se conoce una fórmula de forma cerrada.
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Los valores propios del gráfico de rectángulo m-por-n se pueden usar para obtener una expresión para el número de coincidencias perfectas en dichos gráficos. Vea el artículo de Wikipedia sobre las inclinaciones de dominó .
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