¿Aplicaciones para la teoría de conjuntos, la teoría ordinal, la combinatoria infinita y la topología general en informática?

Soy matemático interesado en la teoría de conjuntos, la teoría ordinal, la combinatoria infinita y la topología general.

¿Existen aplicaciones para estos temas en informática? He buscado un poco y he encontrado muchas aplicaciones (por supuesto) para la teoría de grafos finitos, topología finita, topología de baja dimensión, topología geométrica, etc.

Sin embargo, estoy buscando aplicaciones de los objetos infinitos de estos temas, es decir, árboles infinitos ( árboles de Aronszajn, por ejemplo), topología infinita, etc.

¿Algunas ideas?

¡¡Gracias!!

Una aplicación importante de la topología en semántica es el enfoque topológico de la computabilidad.

La idea básica de la topología de la computabilidad proviene de la observación de que la terminación y la no terminación no son simétricas. Es posible observar si un programa de caja negra finaliza (simplemente espere lo suficiente), pero no es posible observar si no finaliza (ya que nunca puede estar seguro de que no ha esperado lo suficiente para ver que finaliza). Esto corresponde a equipar el conjunto de dos puntos {HALT, LOOP} con la topología de Sierpinski, donde $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$Son los conjuntos abiertos. Entonces, básicamente, podemos llegar bastante lejos equiparando "conjunto abierto" con "propiedad computable". Una sorpresa de este enfoque para los topólogos tradicionales es el papel central que juegan los espacios que no son de Hausdorff. Esto se debe a que básicamente puedes hacer las siguientes identificaciones

$$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$$

Dos buenas encuestas de estas ideas son la topología de MB Smyth en el Manual de lógica en informática y la topología sintética de Martin Escardo de tipos de datos y espacios clásicos .

Los métodos topológicos también juegan un papel importante en la semántica de la concurrencia, pero sé mucho menos sobre eso.

El Premio Gödel 2004 fue compartido entre los periódicos:

• La estructura topológica de la computación asincrónica .
  Por Maurice Herlihy y Nir Shavit, Journal of the ACM, vol. 46 (1999), 858-923
• El acuerdo k-set sin esperas es imposible: la topología del conocimiento público .
  Por Michael Saks y Fotios Zaharoglou, SIAM J. on Computing, vol. 29 (2000), 1449-1483.

Citas del Premio Gödel 2004:

Los dos documentos ofrecen uno de los avances más importantes en la teoría de la computación distribuida.

El descubrimiento de la naturaleza topológica de la computación distribuida proporciona una nueva perspectiva sobre el área y representa uno de los ejemplos más llamativos, posiblemente en todas las matemáticas aplicadas, del uso de estructuras topológicas para cuantificar los fenómenos computacionales naturales.

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Publicación relacionada: Aplicaciones de la topología a la informática

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Definición de vivacidad Alpern y Schneider

Seguridad y vitalidad en el tiempo de ramificación Manolios et. Alabama.