En el documento "Sobre la complejidad de algunos juegos de colorear", Bodlaender ofrece algunas preguntas abiertas sobre la complejidad de decidir si el jugador 1 o 2 tiene una estrategia ganadora en algunos juegos de colorear gráficos. ¿Alguien sabe si se han resuelto?
1) En un juego, dos jugadores se turnan para seleccionar un vértice en un gráfico y colorearlo adecuadamente con un color de un conjunto finito fijo. El perdedor es el primer jugador que no puede colorear un vértice. En el artículo de Schaefer se muestra que está completo en pspace con 1 color y Bodlaender muestra que está completo en pspace con 2 colores, pero no responde con más color. ¿Sigue abierto?
2) En otra variación, los vértices tienen números 1..n. En el turno de un jugador, debe colorear correctamente el vértice con el número más bajo que aún no se ha coloreado. Nuevamente, están usando colores de un conjunto fijo y el perdedor es el primer jugador que no puede colorear su vértice. Bodlaender muestra que es pspace-complete para gráficos generales. Pregunta quién gana en los árboles, ¿se sabe?
Gracias
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Respuestas:
Parece que este documento tiene algo de lo que estás buscando: http://arxiv.org/abs/1202.5762
La forma general de la primera pregunta es una reducción realmente simple: usando los colores {0, ..., n-1}, comience con una instancia de Node Kayles y cree un vértice para cada uno de los colores de 1 a n-1 y conéctese ellos a cada vértice incoloro. Ahora esos colores no se pueden jugar y todavía estás jugando el juego Node Kayles.
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