Dado (iid gaussianos con media y varianza ), ¿es posible (¿cómo?) Muestrear (para ) tal que son pares gaussianos independientes con media y varianza .
12
Dado (iid gaussianos con media y varianza ), ¿es posible (¿cómo?) Muestrear (para ) tal que son pares gaussianos independientes con media y varianza .
Respuestas:
La publicación en MathOverflow indica cómo pasar de una pequeña cantidad de variables aleatorias Uniformes [0,1] independientes a una mayor cantidad de variables aleatorias Uniformes independientes de pares [0,1]. Por supuesto, puede ir y venir entre Uniform [0,1] y Gaussiano invirtiendo el CDF. Pero eso requiere un análisis numérico ya que el CDF no es de forma cerrada.
Sin embargo, hay una forma más sencilla de pasar de gaussiano a uniforme. Dados dos gaussianos independientes , el ángulo arctan ( X 1 / X 2 ) es uniforme en el rango [ 0 , 2 π ] .X1,X2 arctan(X1/X2) [0,2π]
Del mismo modo, el método de Box-Muller transforma dos variables uniformes [0,1] independientes en dos variables aleatorias gaussianas independientes.
Usando estas dos transformaciones, consumes dos gaussianos para producir un uniforme o dos uniformes para producir un gaussiano. Por lo tanto, solo hay un factor de en la eficiencia del muestreo. Además, no se requiere inversión del cdf normal.O(1)
fuente
Para cada par distinto , deje , donde es la función de signo. Está claro que cada es una variable normal con media 0 y varianza 1. Para ver que son ortogonales, para , tenga en cuenta que que se puede verificar fácilmente para que sea igual a 0 al observar los diversos casos de posibles igualdades entre .(i,j)∈([k]2) Yi,j=|Xi|⋅σ(XiXj) σ(⋅) Yi,j (i,j)≠(i′,j′) i,i′,j,j′
PD: Una versión anterior reclamaba falsamente la independencia por pares.
fuente