¿Problemas en

¿Qué problemas se sabe que pertenecen a pero que no se sabe que pertenecen a ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf P$

Más precisamente, estoy interesado en problemas independientes , es decir, cuyas desviaciones aleatorias no son equivalentes. Por ejemplo, se sabe que desrandomizar PIT y factorización polinomial multivariante son equivalentes y los consideraría como un solo problema.

La motivación de mi pregunta es que es común decir que "hay pocos problemas en no se sabe que están en " $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{P}$ , pero no pude encontrar una lista de ellos. En particular, si tengo que citar problemas en esta categoría, generalmente cito la factorización de polinomios univariados sobre campos finitos, o la factorización de polinomios multivariados. Supongo que existen ejemplos que no están relacionados con la factorización polinómica, por ejemplo en otros dominios como la teoría de grafos o la teoría del lenguaje formal.

PD: Me parece curioso que todavía no exista una pregunta similar en este sitio web. ¡Mis disculpas si simplemente no lo encontré (o ellos)!

derandomization Bruno
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Las respuestas a esta publicación contienen dos ejemplos cstheory.stackexchange.com/questions/11425/…

Mohammad Al-Turkistany

Respuestas:

Si está pidiendo problemas independientes, ¿qué tal si:

$[N, 5N/4]$
$[N, 9N/8]$
$[N, 17N/16]$
$[N, 33N/32]$
$[N, 65N/64]$
$\ldots$

Es abrumadoramente probable que si realmente tuviera un algoritmo polinómico para resolver el primero de estos, tendría un algoritmo polinómico para todos ellos. Pero no veo cómo reducir formalmente ninguno de estos a ninguno de los otros. Por supuesto, el problema

$[N, N+\log^{17} N ]$

resuelve todo esto.

Peter Shor
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Para ser precisos, ¿cuál es la versión de decisión de estos problemas que tiene en mente? Gracias.

usul

@usul: No tengo en mente una versión de decisión de estos problemas. ¿Realmente necesito? Me doy cuenta de que técnicamente, BPP solo consiste en problemas de decisión. La mayoría de las veces, los problemas de decisión y los problemas de función son más o menos equivalentes, lo que significa que puede considerar solo los problemas de decisión sin pérdida de generalidad. No estoy seguro de que eso sea cierto para esta pregunta, y no sé si el OP solo se preocupa por los problemas de decisión o no.

Peter Shor el

n

$n$

[N, 5 N / 4]

$[N,5N/4]$

[N, 5 N / 4]

$[N, 5N/4]$

N > 10^{6}

$N > 10^6$

N \leq 10^{6}

$N \leq 10^6$

a, b

$a,b$

[a, b]

$[a,b]$

$(2^\ell)$

Dicho esto, solo puedo pensar en dos casos en los que este uso conduciría a una diferencia entre BPP y P.

El primero es el algoritmo reciente para los dos caminos más cortos disjuntos ( PDF del autor ), Björklund y Husfeldt, ICALP 2014.

$|K|=O(\log n)$ $|K|$

Magnus Wahlström
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No soy un experto, pero quizás algunos ejemplos (¿no tan naturales?) Pueden derivarse directamente usando la técnica de reducción determinista de los problemas de búsqueda de BPP a problemas de decisión de BPP , presentados en:

Oded Goldreich, En un mundo de P = BPP. Estudios en Complejidad y Criptografía 2011: 191-232

$(R_{yes},R_{no})$ $R$ $R_{yes} \subseteq R \subseteq (\{0, 1\}^∗ \times \{0, 1\}^∗) \setminus R_{no}$ $R$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$ $\Pi$ $(R_{yes},R_{no})$

El teorema puede extenderse a problemas generales de construcción, por ejemplo (ver Corolario 3.9 ) considere el problema de encontrar una prima en un intervalo lo suficientemente grande:

$c > 7/12$ $N$ $[N, N + N^c]$

El algoritmo aleatorizado se ejecuta en el tiempo polinómico esperado; no se conoce un algoritmo determinista de tiempo polinómico; pero si BPP = P dicho algoritmo de tiempo polinómico determinista debe existir (porque puede reducirse a un problema de decisión de BPP).

Marzio De Biasi
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