ACC0 es una clase de complejidad natural.
1) Barrington demostró que el cálculo sobre los monoides no solubles capturan mientras que sobre los monoides solubles capturan . A C C 0NC1ACC0
2) Recientemente, Hansen y Koucky demostraron un resultado hermoso de que los programas de ramificación plana de ancho constante de tamaño polivinílico son exactamente . Sin la condición de planaridad, por supuesto obtenemos el resultado de Barrington que caracteriza a . N C 1ACC0NC1
Entonces, la diferencia entre y es teórica de grupo por un lado y topológica por el otro. N C 1ACC0NC1
Agregado: Dana, un ejemplo simple de un grupo solucionable es , el grupo simétrico sobre elementos. Sin entrar en detalles, cualquier grupo solucionable tiene una serie cuyos cocientes resultan ser cíclicos. Esta estructura cíclica se refleja como puertas modificadas al construir un circuito para resolver problemas de palabras en el grupo.S4
Sobre la planaridad, a uno le gustaría creer que la planaridad puede imponer restricciones / cuellos de botella en el flujo de información. Esto no siempre es cierto: por ejemplo, se sabe que las variaciones de 3SAT planas son NP completas. Sin embargo, en clases más pequeñas, es más probable que estas restricciones se cumplan.
De manera similar, Wigderson mostró NL / poly = UL / poly usando el lema de aislamiento. No sabemos cómo desrandomizar el lema de aislamiento sobre DAG arbitrarios para obtener NL = UL, pero sabemos cómo hacerlo para DAG planos.
m mod pmodm m modp
Considere la clase de circuitos de constantes de profundidad que consisten solamente de puertas, y entradas y constantes en las hojas. Entonces, uno puede mostrar fácilmente que la función OR (por ejemplo) no puede ser calculada por dichos circuitos, independientemente del tamaño del circuito. (Esto se debe a que cualquiera de estos circuitos calcula un polinomio de bajo grado sobre , y el grado de OR es ).F p nmodp Fp n
Sin embargo, si consideramos los circuitos que consisten solo en compuertas donde tiene al menos dos factores primos distintos, hay un circuito de profundidad (de tamaño exponencial) para la función OR.m 2modm m 2
Y antes del resultado de Ryan, fue, supongo, la clase más pequeña para la que no teníamos límites inferiores decentes.AC0[mod6]
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Solo para elaborar sus dos puntos:
Si estamos en el negocio de entender la computación, el conteo modular es una de las fronteras de nuestra comprensión. El conteo modular es uno de los fenómenos más simples y naturales en la computación, sin embargo, parece que entendemos muy poco al respecto. No podemos descartar la posibilidad de que los circuitos de profundidad polinómica de tamaño 3 con solo compuertas Mod6 puedan calcular todas las funciones en NP. Sin embargo, se conjetura que tales circuitos solo pueden calcular funciones con un gran tamaño de soporte y, por lo tanto, no pueden calcular una función muy simple como AND. En el lado del límite superior, la situación es similar, no tenemos resultados no triviales.
Estas preguntas también son muy interesantes desde una perspectiva puramente matemática, ya que están estrechamente relacionadas con preguntas muy naturales sobre polinomios y matrices sobre Z_m. Para dar un ejemplo, no tenemos buenos límites inferiores para el rango de una matriz codiagonal nxn sobre Z_6. Una matriz codiagonal tiene 0s en diagonal y nonzeros fuera de diagonal.
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