Sabemos que si tiene una máquina PSPACE, es lo suficientemente potente como para proporcionar una prueba interactiva de cualquier nivel de la jerarquía polinómica. (Y si recuerdo bien, todo lo que necesita es #P.) Pero suponga que desea dar una prueba interactiva de membresía en un idioma . ¿Es suficiente poder resolver problemas en Σ 2 ? ¿Es adecuado resolver problemas en Σ 5 ? En términos más generales, si puede resolver los problemas Σ k o Π k , ¿para qué Σ ℓ es suficiente para generar pruebas interactivas de todos los idiomas en Σ ℓ ?
Esta pregunta se inspiró en esta pregunta de intercambio de pila teoría .
cc.complexity-theory
interactive-proofs
Peter Shor
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Respuestas:
Incluso para dar una IP para coNP, usando las técnicas actuales, uno necesita aritmetizar, es decir, usar el conteo, lo que significa esencialmente toda la potencia de #P. Creo que cualquier probador más débil, incluso para coNP, sería muy interesante (en particular, implicaría una nueva técnica no relativa).
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Este es un problema abierto (maravilloso) conocido en el que he trabajado de vez en cuando sin éxito.
Avi Wigderson y yo mencionamos el problema en nuestro documento de algebrización , donde planteamos la cuestión de si las contenciones como coNP ⊆ IP NP pueden demostrarse mediante técnicas de algebrización. (Aquí IP NP denota IP con un verificador BPP y un comprobador BPP NP .) Si (como conjeturo) la respuesta es no, entonces eso proporcionaría una razón formal por la cual cualquier protocolo interactivo como el que Peter solicita requeriría no relativizar técnicas que van "fundamentalmente más allá" de las utilizadas para IP = PSPACE.
Una pregunta análoga es si BQP = IP BQP , donde IP BQP significa IP con un verificador BPP y un comprobador BQP (tiempo polinómico cuántico). Esa pregunta también está abierta, aunque un avance reciente de Broadbent, Fitzsimons y Kashefi mostró que una afirmación estrechamente relacionada es cierta.
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Sí, la pregunta de si coNP tiene una prueba interactiva donde el probador es más débil que #P (por ejemplo, polytime con acceso al oráculo NP) es una pregunta abierta bien conocida. El siguiente artículo reciente de Haitner, Mahmoody y Xiao discute esta pregunta y muestra algunas consecuencias del supuesto de que esto no se puede hacer.
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Como Suresh me sugirió que publique mi comentario como respuesta, lo haré. Sin embargo, no considero que esto constituya una respuesta completa ya que no he intentado probar esto, y puede llegar a ser un callejón sin salida.
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