Un homomorfismo de un gráfico a un gráfico G ′ = ( V ′ , E ′ ) es un mapeo f de V a V ′ tal que si x e y son adyacentes en E entonces f ( x ) y f ( y ) son adyacentes en E ' . Un endomorfismo de un gráfico Ges un homomorfismo de a sí mismo; está libre de puntos fijos si no hay x tal que f ( x ) = x y no es trivial si no es la identidad.
Recientemente he hecho una pregunta relacionada con los automorfismos poset (y gráficos) , es decir, endomorfismos biyectivos cuyo inverso también es un endomorfismo. Encontré trabajo relacionado sobre contar (y decidir la existencia de) automorfismos, pero buscando no pude encontrar ningún resultado relacionado con endomorfismos.
De ahí mi pregunta: ¿Cuál es la complejidad, dada una gráfica , de decidir la existencia de un endomorfismo no trivial de G , o de contar el número de endomorfismos? La misma pregunta con endomorfismos sin punto fijo.
Creo que el argumento dado en esta respuesta se extiende a los endomorfismos y justifica que el caso de los gráficos bipartitos dirigidos, o posets, no es más fácil que el problema de los gráficos generales (el problema de los gráficos generales se reduce a este caso), pero su complejidad no parece sencillo de determinar. Se sabe que decidir la existencia de un homomorfismo de un gráfico a otro es NP-difícil (esto es claro ya que generaliza la coloración del gráfico), pero parece que restringir la búsqueda de homomorfismos de un gráfico a sí mismo podría facilitar el problema, así que esto no me ayuda a determinar la complejidad de estos problemas.