Dificultad para comprender el algoritmo cuántico para el problema de subgrupos ocultos abelianos

Tengo dificultades para comprender los últimos pasos del algoritmo AHSP. Deje que sea un grupo abeliano y ser la función que oculta el subgrupo . Deje que representa el grupo dual de .$G$$f$$H$$G^*$$G$

Estos son los pasos del algoritmo.

1. Primero prepara el estado,

   $\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ .

2. Luego aplicamos el oráculo cuántico que evalúa en , obtenemos$f$$I$

   $\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ .

3. Ahora mida el segundo qubit de , obtenemos$I'$

   $\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

   para algunos .$r \in G$

4. Ahora aplicamos la transformada cuántica de Fourier en el primer qubit, obtenemos

   $\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ ,

   donde .$H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Ahora, desde el estado ¿cómo podemos obtener generadores del grupo ?$I_m$$H$

Este postprocesamiento clásico explota varias propiedades teóricas grupales no triviales de los grupos abelianos. Escribí una explicación didáctica de cómo funciona este algoritmo clásico aquí [1] ; Otras buenas fuentes para leer son [ 2 , 3 , 4 ].

Por lo tanto, medir al final del algoritmo en la base estándar le dará elementos de uniformemente al azar. No es difícil comprobar que el conjunto es un subgrupo (abeliano finito) del grupo de caracteres ; debido a que después de se redondea la medición, se obtiene un conjunto generador de con una probabilidad exponencialmente cercana a uno.$H^{*}$$H^{*}$$G^{*}$$O(\log{|G|})$$H^{*}$

La parte más técnica es cómo reconstruir dado un conjunto generador de . Centrémonos en este problema de ahora en adelante. Para esto, necesitaremos algunos rudimentos de la teoría del personaje.$H$$H^{*}$

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Teoría del personaje

En primer lugar, recuerde que, cuando es abeliano finito, los caracteres forman un grupo isomorfo a y que pueden escribirse como La etiqueta del carácter es un elemento de . El mapa define un isomorfismo entre y , para que podamos identificar ambos grupos.$G$$G$

$$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$$ $g$$\chi_g$$G$$g\rightarrow \chi_g$$G^*$$G$

Ahora, dado , el conjunto que describes es Calle del subgrupo ortogonal de o, dependiendo de la fuente, el aniquilador de . Este subgrupo tiene algunas propiedades matemáticas importantes:$H$$H^*$$H$$H$

1. Primero de todo, también se subgrupo de ;$H^*$$G$

2. Es dual a , en el sentido de que, si consideramos el subgrupo de doble aniquilador , este subgrupo es isomorfo a : es decir, . Esto garantiza que las soluciones al sistema de ecuaciones son precisamente los elementos del subgrupo que desea.$H$$H^{**}$$H$$H\cong H^{**}$

   $$\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$$ $H$

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Ecuaciones lineales sobre grupos

Ahora, una observación clave que podemos usar es la siguiente (seguiré [1] para esta parte): los antiguos sistemas de ecuaciones pueden reescribirse como un " sistema de ecuaciones lineales sobre grupos abelianos finitos ". Con eso, me refiero a un problema en el que las entradas son para grupos abelianos finitos , ; un elemento ; un grupo homomorfismo y la tarea es encontrar las soluciones de la ecuación Puede demostrar que cualquier homomorfismo puede escribirse como una matriz , de tal manera que el problema anterior puede reexpresarse como $X$$Y$$b\in Y$$\alpha:X\rightarrow Y$

$$\alpha(x)=b$$ $A$ $$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$$ donde asumimos .$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

La observación final clave es que existen algoritmos clásicos eficientes para decidir si estos sistemas admiten soluciones, las cuentan y las encuentran (examinamos algunas en [1] ). El conjunto de soluciones siempre tiene la forma , donde es una solución particular y es el núcleo de (un subgrupo de ). Estos algoritmos clásicos pueden encontrar una solución particular del sistema y calcular un conjunto generador de . Estos algoritmos clásicos hacen un uso crucial de Smith Normal Forms$x_0+\ker{\alpha}$$x_0$$\ker{\alpha}$$\alpha$$X$$\ker{\alpha}$ reescribir el sistema en una forma casi diagonal (son necesarios algunos otros pasos intermedios, pero eso debería proporcionarle una imagen intuitiva).

El sistema de ecuaciones que obtenga en su caso codifica el subgrupo escondido . En particular es de la forma , para algún grupo homomorfismo . El núcleo de es precisamente el subgrupo oculto. Una solución particular en ese caso es 0, la trivial.$H$$\Omega x = 0$$\Omega$$\Omega$

Después de su paso 4, medir en la base computacional nos dará aleatoriamente un .$I_m$$\chi \in G^*$

A continuación, repetir todos los pasos que ha dado veces para obtener una lista de caracteres en el grupo dual de . Esta lista de caracteres genera un subgrupo del grupo dual .$n$$n$$G$$K$$G^*$

A continuación, comprobar a través de (clásico) todos los posibles subgrupos para encontrar uno donde es . $H$$H^*$$K$

Para fijo, esto no siempre es una coincidencia única, por lo que cuando hay degeneración simplemente elegimos la coincidencia más grande (ya que el subgrupo trivial coincidirá con todas las listas de caracteres).$n$