¿Encontrar reducciones de Logspace es más difícil que las reducciones de P?

Motivado por la respuesta de Shor relacionada con diferentes nociones de integridad de NP, estoy buscando un problema que es NP completo bajo las reducciones de P pero no se sabe que es NP completo bajo las reducciones de Logspace (preferiblemente durante mucho tiempo). Además, ¿es más difícil encontrar reducciones de espacio de registro entre problemas de NP completo que encontrar reducciones de P?

$\mathrm{AC}^0$$\mathrm{AC}^0$

$(\phi,b)$$\phi$$z$$b=1$$z$$\phi$$z$$b$, que es inherentemente poli-tiempo. Sin embargo, con un poco de trabajo, se puede demostrar que esquemas como este se completan bajo reducciones de espacio de registro a través de alguna reducción no ingenua. (No he resuelto este ejemplo en particular ...)