Complejidad SMT de una alternancia

Estoy buscando la complejidad de la satisfacción de una fórmula o de una fórmula donde es la fórmula de la forma: $\forall y_1, \dots,y_n, \exists x_1,\dots,x_m, \phi$ $\exists x_1,\dots,x_m \forall y_1, \dots,y_n,\phi$ $\phi$ Donde son la constante en , y el dominio de las variables es también .

ϕ := ϕ \land ϕ | \neg ϕ | ϕ \to ϕ | ψ

$\phi:= \phi \wedge\phi ~| ~\neg \phi ~| ~ \phi\to \phi~| ~\psi$

ψ := t > t | t = t

$\psi := t>t~| ~t=t$

t := t + t | x_{i} | y_{i} | c

$t:= t+t~| ~x_i~|~y_i ~| ~c$

c

$c$

N

$\mathbb{N}$

x_{i}, y_{i}

$x_i,y_i$

N

$\mathbb{N}$

De hecho, son o . ¿Eso simplifica la complejidad? $y_i$ $0$ $1$

Todas las respuestas con referencias serán aceptadas con mucho gusto.

Gracias

cc.complexity-theory reference-request lo.logic wece
fuente

Si phi era booleano, entonces estás en el segundo nivel de la jerarquía polinómica porque puedo resolver el problema con una máquina de Turing no determinista que usa un solucionador SAT como oráculo. ¿No funcionaría el mismo razonamiento aquí?

Mikolas

Como se indica en la pregunta, parece incluso indecidible, ya que incluye el décimo problema de Hilbert en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_tenth_problem

Magnus Find

@MagnusFind Gracias, tienes razón. Pero, de hecho, no tengo la multiplicación (editado, lo siento).

wece

Π_{2}

$\Pi_2$

Σ_{2}

$\Sigma_2$

0

$0$

1

$1$

Respuestas:

La cuestión de la verdad en Presburger Arithmetic con alternancia de cuantificador acotada ha sido respondida con bastante precisión por Reddy y Loveland:

CR Reddy y DW Loveland: aritmética de precarga con alternancia de cuantificador acotado .

El documento se puede encontrar aquí (perdón por el enlace feo). Su resultado principal se establece de la siguiente manera:

$\mathrm{PA}(m)$ $m$ $n$
$2^{d n^{m + 4}}$ $2^{dn^{m+4}}$ $2^{2^{e n^{m + 4}}}$ $2^{2^{en^{m+4}}}$ $d$ $e$

$m=2$

cody
fuente

$m=1$ $n$

Sylvain
fuente

No conozco referencias para el fragmento cuantificado, pero su problema no es el mismo que decidir fragmentos de aritmética de Presburger bien estudiados porque tiene coeficientes unitarios.

$x + c < y$ $x$ $y$ $c$

Dos teorías fáciles cuya combinación es difícil. Pratt, 1977.

$x$ $y$

Decidir las fórmulas lógicas de separación por SAT y la eliminación incremental del ciclo negativo. Chao Wang, Franjo Ivančić, malayo Ganai, Aarti Gupta, 2005.

$0$ $1$ $-1$

Un procedimiento de decisión eficiente para las restricciones UTVPI. Shuvendu K. Lahiri y Madanlal Musuvathi, 2005.

$n$ $\mathcal{O}(3^n)$

El dominio abstracto del octaedro. Robert Clarisó y Jordi Cortadella, 2004.

Para el caso de alternancia del cuantificador acotado, no conozco mejores resultados que los de Reddy y Loveland, pero quizás un experto pueda orientarlo en la dirección correcta.

Vijay D
fuente