Sabemos que los colorantes de borde de un gráfico son colorantes de vértices de un gráfico especial, a saber, de la gráfica de línea L ( G ) de G .
¿Hay un operador de gráfico tal que los colores de vértice de un gráfico son colores de borde del gráfico ? Estoy interesado en un operador de gráfico de este tipo que se puede construir en tiempo polinómico, es decir, el gráfico se puede obtener de en tiempo polinómico.
Observación : Se puede hacer una pregunta similar para conjuntos estables y coincidencias. Una coincidencia en es un conjunto estable en . ¿Hay un operador gráfico tal que los conjuntos estables en coincidan en ? Desde ESTABLE SET es -Complete y JUEGO pertenece a P , un tal operador gráfico Ψ (si existe) no puede ser construido en tiempo polinómico, suponiendo N P ≠ P .
EDITAR: Inspirado por la respuesta de @ usul y los comentarios de @ Okamoto y @ King, encontré una forma más débil para mi problema: los colores de vértice de un gráfico son colores de borde de una hipergrafía definidos de la siguiente manera. El vértice conjunto de es el mismo conjunto de vértices de . Para cada vértice de , la vecindad cerrada es un borde de la hipergrafía . Entonces G es el gráfico lineal de la hipergrafía Φ ( G ) y, por lo tanto, los colores de vértice de G son colores de borde de Φ ( G ) .
Nuevamente, agradezco todas las respuestas y comentarios que muestran que, con o sin suponer , el operador que estoy buscando no puede existir. ¡Sería bueno si pudiera aceptar todas las respuestas!
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Respuestas:
Por analogía con el gráfico lineal , creo que está preguntando lo siguiente:
La respuesta puede verse como no . Considere el árbol de cuatro vértices con raíz v que tiene tres hijos x , y , z . En G ' , debemos tener cuatro aristas: ( v 1 , v 2 ) , ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) , ( z 1 , z 2 ) . Además, debe darse el caso de que vG v x,y,z G′ (v1,v2),(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2) o v 2 es un punto final de cada uno de los otros tres bordes (es decir, | { v 1 , v 2 } ∩ { x 1 , x 2 } | ≥ 1 , etc.). Pero esto significa que al menos dos de los otros tres bordes deben compartir un punto final común, lo que viola nuestros requisitos ya que no hay dos de x , y , z adyacentes en el gráfico original.v1 v2 |{v1,v2}∩{x1,x2}|≥1 x,y,z
Creo que el mismo gráfico también le dará un contraejemplo para la pregunta correspondiente.
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La pregunta contiene cierta ambigüedad en lo que quiere decir con “los colores de vértice de un gráfico G son colores de borde de un gráfico H ”, pero es NP-difícil construir un gráfico cuyo número cromático de borde sea igual al número cromático (vértice) de un gráfico dado Formalmente, el siguiente problema de relación es NP-duro.
Representando número cromática como borde número cromática
Instancia : Un gráfico G .
Solución : Un gráfico de H tal que el número cromática borde χ '( H ) de H es igual al número χ cromática ( G ) de G .
Esto se debe a que el teorema de Vizing proporciona un algoritmo eficiente (trivial) que se aproxima al número cromático de borde dentro de un error aditivo de 1, mientras que el número cromático es difícil incluso de aproximar en varios sentidos. Por ejemplo, Khanna, Linial y Safra [KLS00] mostraron que el siguiente problema es NP completo (y luego Guruswami y Khanna [GK04] dieron una prueba mucho más simple):
3-coloreable versus no-4-coloreable
Instancia : Un gráfico G .
Sí, lo prometo : G es de 3 colores.
Sin promesa : G no tiene 4 colores.
Este resultado es suficiente para probar la dureza NP que reclamé al principio. Se deja una prueba como ejercicio, pero aquí hay una pista:
Referencias
[GK04] Venkatesan Guruswami y Sanjeev Khanna. Sobre la dureza de 4 colores, un gráfico de 3 colores. SIAM Journal on Discrete Mathematics , 18 (1): 30–40, 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .
[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial y Shmuel Safra. Sobre la dureza de aproximar el número cromático. Combinatorica , 20 (3): 393–415, marzo de 2000. DOI: 10.1007 / s004930070013 .
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(Esta es una adición a la respuesta de usul y al comentario de YoshioOkamoto, en lugar de una respuesta). Se puede ver que su operaciónΦ existe solo para esos gráficos sol para lo cual hay un gráfico sol′ con G = L ( G′) es decir sol es un gráfico lineal (verificable en polytime). En este caso,Φ es el "operador de gráfico de línea inversa" L- 1 es decir Φ ( G ) = G′ y coloraciones de vértices de sol son coloraciones de borde de Φ ( G ) .
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