Decidir el homomorfismo gráfico

Decidir Graph Homomorphism es en general NP-Complete.

¿Hay algún resultado que estudie este problema cuando los gráficos subyacentes tienen estructura algebraica (como decidir los homomorfismos de Cayley o los gráficos de coset de Cayley a otros gráficos con alguna estructura definida también)? Además, los resultados de complejidad también me interesan las técnicas algebraicas y / o espectrales útiles.

Si es una clase de gráficos con un ancho de árbol acotado, entonces el problema de homomorfismo de los gráficos en G es solucionable en tiempo polinómico. Esto se puede generalizar a la propiedad más general de "gráficos cuyo núcleo ha acotado el ancho de árbol".$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$

Grohe demuestra lo contrario: si los núcleos de las gráficas en tienen un ancho de árbol ilimitado, entonces el problema de homomorfismo de G no es solucionable en el tiempo polinomial (suponiendo F P T ≠ W [ 1 ] ). Por lo tanto, si restringe el gráfico del lado izquierdo a los gráficos de Cayley, etc., entonces lo que importa es si los núcleos tienen un ancho de árbol acotado.$\mathcal{G}$$\mathcal{G}$$FPT\neq W[1]$

http://dl.acm.org/authorize?951212

Tenga en cuenta que esto no responde completamente a su pregunta: en el resultado de Grohe, se supone que el gráfico del lado derecho es arbitrario. Parece que le interesan los resultados en los que el gráfico del lado derecho también está restringido a alguna clase específica de gráficos.

Decidir si hay un homomorfismo gráfico es más fácil que contar el número de homomorfismos gráficos (ponderados).

Caso ponderado

Para los gráficos objetivo no dirigidos (es decir, el número de homomorfismos de gráficos ponderados de un gráfico de entrada G a H ), existe un teorema de dicotomía.$H$$G$$H$

Jin-Yi Cai, Xi Chen, Pinyan Lu. Graficar homomorfismos con valores complejos: un teorema de dicotomía .

$H$

$H$$H$

$q$$q$$q$

Caso no ponderado

El caso no ponderado es mucho más simple. A continuación, expongo el Teorema 1.1 del siguiente artículo.

Martin Dyer, Catherine Greehill. La complejidad de contar homomorfismos gráficos . (También este enlace directo a un PDF gratuito).

Teorema 1:

$H$$H$$H$