Si. Permítanme escribir para la superficie en la que G y G ∗ están incrustados.ΣGG∗
Debido a que los ciclos y C 2 son homotópicos, también están en la misma clase de homología Z 2 . Entonces, por definición, la diferencia simétrica C 1 ⊕ C 2 es el límite de la unión de algún subconjunto de caras de G ∗ ; llamar a esta unión de caras U . (De hecho, U o su complemento Σ ∖ U debe ser un anillo, pero esto no es importante).C1C2Z2C1⊕C2G∗UUΣ∖U
Como y C 2 son disjuntos, la diferencia simétrica C 1 ⊕ C 2 es igual a la unión C 1 ∪ C 2 . En particular, tenemos C 1 ⊕ C 2 ≠ ∅ , lo que implica que tanto U como su complemento Σ ∖ U no están vacíos. En otras palabras, el subsuelo Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) está desconectado.C1C2C1⊕C2C1∪C2C1⊕C2≠∅UΣ∖UΣ∖(C1∪C2)
Cualquier ruta en puede verse como una ruta en Σ que evita los vértices de G ∗ , y viceversa (hasta la homotopía). Por lo tanto, los componentes (gráfico) de G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) corresponden biyetivamente a los componentes (de superficie) de Σ ∖ ( C 1 ∪ C 2 ) . Concluimos que G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) está desconectado.GΣG∗G∖(E1∪E2)Σ∖(C1∪C2)G∖(E1∪E2)
La suposición de que es orientable nunca se usa.Σ