¿Un par de ciclos homotópicos disjuntos en el doble separan el gráfico?

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Supongamos que es un gráfico incrustado en una superficie compacta orientable del género g para que la incrustación sea celular. Considere el dual de la gráfica G . Supongamos que C 1 y C 2 sean ciclos disjuntos en G que son homotópicos entre sí y que E 1 y E 2 sean sus conjuntos de aristas correspondientes en G respectivamente. ¿Es G ( E 1E 2 ) un gráfico desconectado?GgGC1C2GE1E2GG(E1E2)

Kaveh
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Respuestas:

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Si. Permítanme escribir para la superficie en la que G y G están incrustados.ΣGG

Debido a que los ciclos y C 2 son homotópicos, también están en la misma clase de homología Z 2 . Entonces, por definición, la diferencia simétrica C 1C 2 es el límite de la unión de algún subconjunto de caras de G ; llamar a esta unión de caras U . (De hecho, U o su complemento Σ U debe ser un anillo, pero esto no es importante).C1C2Z2C1C2GUUΣU

Como y C 2 son disjuntos, la diferencia simétrica C 1C 2 es igual a la unión C 1C 2 . En particular, tenemos C 1C 2 , lo que implica que tanto U como su complemento Σ U no están vacíos. En otras palabras, el subsuelo Σ ( C 1C 2 ) está desconectado.C1C2C1C2C1C2C1C2UΣUΣ(C1C2)

Cualquier ruta en puede verse como una ruta en Σ que evita los vértices de G , y viceversa (hasta la homotopía). Por lo tanto, los componentes (gráfico) de G ( E 1E 2 ) corresponden biyetivamente a los componentes (de superficie) de Σ ( C 1C 2 ) . Concluimos que G ( E 1E 2 ) está desconectado.GΣGG(E1E2)Σ(C1C2)G(E1E2)

La suposición de que es orientable nunca se usa.Σ

Jeffε
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Jeff, ¿puedes señalarme una referencia que contenga este resultado?
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Lo siento, no. Pero la observación de que dos simples ciclos homotópicos no contráctiles separados unen un anillo (que te lleva a la mayor parte del camino) aparece en David BA Epstein. Curvas en 2 múltiples e isotopías. Acta Mathematica 115: 83–107, 1966.
Jeff el