Determinar el número faltante en la secuencia de datos

Recibimos una secuencia de pares diferentes números del conjunto { 1 , ... , n } .$n-1$$\left\{1,\dots,n\right\}$

¿Cómo puedo determinar el número faltante con un algoritmo que lee la secuencia una vez y usa una memoria de solo bits?$O(\log_2 n)$

Sabes , y porqueS=n(n+1$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ podría codificarse enbitsO(log(n))esto se puede hacer en lamemoriaO(logn)y en una ruta (solo encuentreS-currentSum, este es el número que falta).$S = \frac{n(n+1)}{2}$$O(\log(n))$$O(\log n)$$S - \mathrm{currentSum}$

Pero este problema podría resolverse en un caso general (para constante ): tenemos k números que faltan, descúbrelos todos. En este caso, en lugar de calcular solo la suma de y i , calcule la suma de j'st potencia de x i para todo 1 ≤ j ≤ k (supuse $k$$k$$y_i$$x_i$$1\le j \le k$ faltan números e y i son números de entrada):$x_i$$y_i$

$\qquad \displaystyle \begin{align} \sum_{i=1}^k x_i &= S_1,\\ \sum_{i=1}^k x_i^2 &= S_2,\\ &\vdots \\ \sum_{i=1}^k x_i^k &= S_k \end{align}$ $\qquad (1)$

Recuerde que puede calcular simplemente, porque S 1 = S - ∑ y i , S 2 = ∑ i 2 - ∑ y 2 i , ...$S_1,...S_k$$S_1 = S - \sum y_i$$S_2 = \sum i^2 - \sum y_i^2$

Ahora, para encontrar números que faltan, debes resolver para encontrar todo x i .$(1)$$x_i$

Puedes calcular:

, P 2 = ∑ x i ⋅ x j , ..., P k = ∏ $P_1 = \sum x_i$$P_2 = \sum x_i\cdot x_j$ ( 2 ) .$P_k = \prod x_i$ $(2)$

Para esto recuerde que , P 2 = S 2 1 - S $P_1 = S_1$ , ...$P_2 = \frac{S_1^2 - S_2}{2}$

Pero son coeficientes de P = ( x - x 1 ) ⋅ ( x - x 2 ) ⋯ ( x - x k ), pero P podría factorizarse únicamente, por lo que puede encontrar los números que faltan.$P_i$$P=(x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdots (x-x_k)$$P$

Estos no son mis pensamientos; leer este .

Del comentario anterior:

Antes de procesar el flujo, asigne bits, en el que escriba x : = ⨁ n i = 1 b i n ( i ) ( b i n ( i ) es la representación binaria de i y ⊕ es exclusivo de pointwise- o). Ingenuamente, esto lleva O ( n ) tiempo.$\lceil \log_2 n \rceil$$x:= \bigoplus_{i=1}^n \mathrm{bin}(i)$$\mathrm{bin}(i)$$i$$\oplus$$\mathcal{O}(n)$

Al procesar la secuencia, cada vez que uno lea un número , calcule x : = x ⊕ b i n ( j ) . Deje que k es el número único de { 1 , . . . n } que no está incluido en la secuencia. Después de haber leído todo el flujo, tenemos x = ( n ⨁ i = 1 b i n ( i ) ) ⊕ ( ⨁ i ≠ k$j$$x := x \oplus \mathrm{bin}(j)$$k$$\{ 1, ... n\}$ produciendo el resultado deseado.

Por lo tanto, utilizamos el espacio y tenemos un tiempo de ejecución general de O ( n ) .$\mathcal{O}(\log n)$$\mathcal{O}(n)$

La solución de HdM funciona. Lo codifiqué en C ++ para probarlo. No puedo limitar elvalue$O(\log_2 n)$ bits, but I'm sure you can easily show how only that number of bits is actually set.

For those that want pseudo code, using a simple $\text{fold}$ operation with exclusive or ($\oplus$):

Hand-wavey proof: A $\oplus$ never requires more bits than its input, so it follows that no intermediate result in the above requires more than the maximum bits of the input (so $O(\log_2 n)$ bits). $\oplus$ is commutative, and $x \oplus x = 0$, thus if you expand the above and pair off all data present in the stream you'll be left only with a single un-matched value, the missing number.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;

void find_missing( int const * stream, int len );

int main( int argc, char ** argv )
{
    if( argc < 2 )
    {
        cerr << "Syntax: " << argv[0] << " N" << endl;
        return 1;
    }
    int n = atoi( argv[1] );

    //construct sequence
    vector<int> seq;
    for( int i=1; i <= n; ++i )
        seq.push_back( i );

    //remove a number and remember it
    srand( unsigned(time(0)) );
    int remove = (rand() % n) + 1;
    seq.erase( seq.begin() + (remove - 1) );
    cout << "Removed: " << remove << endl;

    //give the stream a random order
    std::random_shuffle( seq.begin(), seq.end() );

    find_missing( &seq[0], int(seq.size()) );
}

//HdM's solution
void find_missing( int const * stream, int len )
{
    //create initial value of n sequence xor'ed (n == len+1)
    int value = 0;
    for( int i=0; i < (len+1); ++i )
        value = value ^ (i+1);

    //xor all items in stream
    for( int i=0; i < len; ++i, ++stream )
        value = value ^ *stream;

    //what's left is the missing number
    cout << "Found: " << value << endl;
}