Considere los programas lineales.
El teorema de la dualidad débil establece que si y satisfacen las restricciones, entonces . Tiene una prueba corta y pulida usando álgebra lineal: .
El fuerte teorema de la dualidad establece que si es una solución óptima para el primario, entonces hay que es una solución para el dual y .
¿Existe una prueba igualmente corta y resbaladiza para el fuerte teorema de la dualidad?
Respuestas:
Probablemente no. Aquí hay un argumento conceptual basado en
Farkas Lemma : Exactamente una de las siguientes alternativas tiene una solución:
Ahora dejemos que sea el valor objetivo óptimo de lo primario. Deje que sea arbitrario. Deje que sea con un adicional como la última fila. Deje que sea con un adicional como último valor.δ ϵ>0 A′ A −cT b′ b −δ−ϵ
El sistema no tiene solución. Por Farkas, hay un tal que:A′x′≤b′ y′=(y,α)
Tenga en cuenta que si estamos en la otra alternativa de Farkas. Por lo tanto .ϵ=0 α>0
Escala para que . es doble factible. La dualidad débil implica .y′ α=1 y δ≤yTb<δ+ϵ
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