Convolución 2D: ¿Voltear el núcleo?

¿Por qué necesitamos voltear el núcleo en convolución 2D en primer lugar? ¿Cuál es el beneficio de esto? Entonces, ¿por qué no podemos dejarlo sin voltear? http://www.songho.ca/dsp/convolution/convolution2d_example.html

entrada

núcleo

salida

"Primero, voltea el núcleo, que es el cuadro sombreado, en dirección horizontal y vertical"

Si no voltea el núcleo, simplemente obtiene una operación diferente que se llama correlación cruzada. Cuando el filtro es simétrico, como un gaussiano o un laplaciano, la convolución y la correlación coinciden. Pero cuando el filtro no es simétrico, como una derivada, obtienes resultados diferentes.

La razón por la cual se prefiere la convolución sobre la correlación es que tiene mejores propiedades matemáticas. En particular, la convolución es asociativa, mientras que la correlación en general no lo es.

Para una explicación más técnica, necesitamos entrar en el dominio de la frecuencia. El teorema principal de las convoluciones establece que la forma de Fourier de la convolución de dos funciones y es igual (hasta una constante dependiendo de la transformación) al producto de las transformadas de Fourier de las dos funciones. En simbolos $f*g$$f$$g$

$${\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$$

donde es la transformada de Fourier. En el caso de la correlación, obtendría la multiplicación por el conjugado complejo, que es menos agradable y, en particular, no asociativo.$\mathcal {F}$

Otra propiedad interesante de la convolución es que al convolucionar un núcleo con un impulso unitario (por ejemplo, una matriz con un solo 1 en su centro y 0 de lo contrario), se obtiene el núcleo como resultado. La correlación voltearía el núcleo, en cambio.