Supongamos que tengo una gráfica con el (desconocido) conjunto de perfectos matchings de . Suponga que este conjunto no está vacío, entonces, ¿qué tan difícil es muestrear uniformemente al azar de ? ¿Qué pasa si estoy de acuerdo con una distribución que es casi uniforme, pero no bastante uniforme, entonces hay un algoritmo eficiente?
algorithms
complexity-theory
matching
sampling
Artem Kaznatcheev
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Respuestas:
Hay un artículo clásico de Jerrum y Sinclair (1989) sobre el muestreo de coincidencias perfectas de gráficos densos. Otro artículo clásico de Jerrum, Sinclair y Vigoda (2004; pdf) analiza el muestreo de coincidencias perfectas a partir de gráficos bipartitos.
Ambos documentos utilizan cadenas de Markov que se mezclan rápidamente, por lo que las muestras son casi uniformes. Me imagino que el muestreo uniforme es difícil.
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Si supone que su gráfico es plano, entonces hay un procedimiento de tiempo polinómico para este problema de muestreo.
Primero, el problema de contar el número de coincidencias perfectas está en P para los gráficos planos. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Una buena exposición de este hecho se puede encontrar en el primer capítulo del libro de Jerrum sobre Conteo, muestreo e integración).
Luego, para cada borde de , cuente el número de combinaciones perfectas de . Esto se puede convertir en la probabilidad de que una coincidencia perfecta uniforme contiene - sólo se dividen por el número de apareamientos perfectos en . Muestree una ventaja de acuerdo con esta probabilidad y continúe inductivamente.e G G∖e e G
(Esto se aprovecha del hecho de que los emparejamientos son una estructura "auto-reducible", por lo que los problemas de conteo y de muestreo uniforme son esencialmente los mismos. Puede ver JVV "Generación aleatoria de estructuras combinatorias a partir de una distribución uniforme" para obtener más información sobre esto punto de vista.)
Una prueba simple de que esto da la distribución correcta:
Sea el número de coincidencias perfectas ordenadas en un gráfico , como secuencias ordenadas. (¡Lo cual es Veces el número de coincidencias perfectas desordenadas, )c(H) H n! n=H/2
Deje la secuencia de aristas elegida en este procedimiento. Como cada paso era independiente del primero, la probabilidad de elegir esta secuencia de aristas es:e1,…,en
Tenga en cuenta que , ya que es solo el borde . Entonces este producto se telescopía y deja .c(G∖{e1,…,en−1})=1 G∖{e1,…,en−1} en 1/c(G)
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