¿Por qué un BRDF no es una proporción de radiaciones?

Estoy aprendiendo acerca de los BRDF y me pregunto por qué el BRDF se define como la relación entre la radiación saliente a una dirección dada y la irradiancia entrante desde otra dirección. ¿Por qué el BRDF no se define como relación de radiaciones?

Hay un par de formas de responder esta pregunta: una forma algebraica y una forma geométrica.

Algebraicamente, podemos identificar las unidades que debe tener el BRDF mirando su lugar en la ecuación de representación. La ecuación de representación clásica es:

El valor de salida a la izquierda es un resplandor, por lo que el resultado de la integral también debe ser un resplandor. El integrando contiene un resplandor multiplicado por un ángulo sólido , por lo que otra cosa en el integrando tiene que cancelar ese factor de ángulo sólido. El factor tiene dimensiones, y la única otra cosa es el BRDF, por lo que para que todo funcione, el BRDF debe tener unidades de ángulo sólido inverso. De manera equivalente, el BRDF puede verse como una relación de radiancia a irradiancia, ya que difieren en un factor de ángulo sólido en el denominador de radiancia.$d\omega'$$n \cdot \omega'$

Otra forma de verlo es que el BRDF juega un papel similar a una densidad de probabilidad. Si observa cómo funcionan las densidades de probabilidad, tienen unidades inversas al volumen de su dominio. Por ejemplo, una densidad de probabilidad 1D tiene unidades de longitud inversa (probabilidad por unidad de longitud, pero la probabilidad en sí misma no tiene dimensiones), una 2D tiene unidades de área inversa, y así sucesivamente. El BRDF actúa de manera muy similar a una densidad de probabilidad definida en el hemisferio, lo que da la posibilidad de que un fotón que ingresa desde una dirección dada se refleje en otra dirección. Entonces, como cualquier otra densidad de probabilidad en un dominio esférico, tiene unidades de ángulo sólido inverso.

Geométricamente, podemos llegar a las tachuelas de latón y separar lo que está sucediendo en la integral en la ecuación de representación. Recuerde que una integral significa subdividir el dominio en piezas pequeñas y sumar el integrando sobre todas las piezas (en el límite a medida que las piezas se vuelven infinitamente pequeñas). Veamos una de esas piezas. El integrando debería dar como resultado una cantidad infinitesimal de luminosidad , ya que vamos a sumar muchas piezas para llegar a una luminosidad saliente finita. Entonces, una sola pieza infinitesimal de la integral se ve así:$dL$

Si reagrupamos un poco los factores, la combinación calcula la irradiancia en la superficie debido a la luz proveniente del ángulo sólido infinitesimal . Como llega desde una cantidad infinitesimal de ángulo sólido, produce una irradiancia infinitesimal .$L_\text{incoming} \, (n \cdot \omega') \, d\omega'$$d\omega'$$dE$

o

Por lo tanto, el BRDF actúa como una constante de proporcionalidad entre la irradiancia infinitesimal que llega a la superficie desde un ángulo sólido infinitesimal y la radiación saliente infinitesimal generada por el mismo. No podría ser una relación de radiaciones, porque tenemos un resplandor entrante finito , y necesitamos un resplandor saliente infinitesimal si queremos resumir muchas piezas de la integral y obtener un resultado finito. Para que eso suceda, el BRDF tendría que tener un valor infinitesimal, que ... no es una cosa, en matemáticas estándar. :)

Espero que algo de esto ayude. Hay una variedad de formas equivalentes de ver este problema, como ocurre con muchas cosas en matemáticas y física.