¿Razones de los supuestos para la función de distribución de microfaceta?

El modelo de papel Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces (entre otros) nos recuerda los siguientes supuestos sobre la función de distribución de microfacet D:

1. La densidad de microfaceta es valorada positivamente
2. El área total de la micro-superficie es al menos tan grande como el área de la macro-superficie correspondiente
3. El área proyectada (firmada) de la micro-superficie es la misma que el área proyectada de la macro-superficie para cualquier dirección v

Puedo ver por qué 1) una densidad de distribución es un valor positivo, e intuitivamente creo que 2) significa que el área total de las microfacetas inclinadas no puede ser menor que su proyección.
Sin embargo, no estoy seguro de entender la justificación para 3). ¿Qué significa la tercera condición?

$v$$v\dot\ \hat N$$\hat N$

Ahora divida la macrosuperficie en microfacetas. El área total de las microfacetas es al menos igual (suposición 2), pero cada "torcedura" en la superficie dobla las normales de las microfacetas separadas lejos de la normal original. Cualquiera sea la forma de las microfacetas, la suma de sus áreas proyectadas no cambia. En el caso de que esté mirando a lo largo de lo normal, es fácil ver que el área total proyectada es la misma: la superficie tendría que agrandarse o reducirse para que cambie.

Para cualquier dirección, la microfaceta tiene que cubrir una parte del área proyectada original de la superficie. Cambiar la orientación de la microfaceta mientras se llena esa porción no cambia su área proyectada.

Hay un caso complicado, que es donde las microfacetas se sobresalen entre sí. En este caso, el área total es mayor, porque alguna área está cubierta por más de una microfaceta. Pero en este caso, al menos una de las microfacetas tiene que terminar apuntando lejos de la dirección de la vista, de vuelta a la superficie. En este caso, el producto punto es negativo, por lo que esto cancela el área cubierta por más de una microfaceta. Es por eso que el texto tiene cuidado de señalar que es el área proyectada firmada .

Hay un caso más complicado, que es donde las microfacetas se extienden más allá de la silueta del objeto. Esto puede suceder cuando se mira desde ángulos muy deslumbrantes o cuando las facetas sobresalientes sobresalen del perímetro de la superficie. En este caso, el área proyectada de las microfacetas será mayor, violando el tercer supuesto. Generalmente no consideramos este caso. Intuitivamente, coincide con el hecho de que técnicas como el mapeo de relieve no cambian la forma de la silueta del objeto.