¿Cómo influyen las muestras correlacionadas en el comportamiento de un renderizador de Monte Carlo?

La mayoría de las descripciones de los métodos de representación de Monte Carlo, como el trazado de ruta o el trazado de ruta bidireccional, suponen que las muestras se generan de forma independiente; es decir, se usa un generador de números aleatorios estándar que genera un flujo de números independientes y distribuidos uniformemente.

Sabemos que las muestras que no se eligen independientemente pueden ser beneficiosas en términos de ruido. Por ejemplo, el muestreo estratificado y las secuencias de baja discrepancia son dos ejemplos de esquemas de muestreo correlacionados que casi siempre mejoran los tiempos de renderizado.

Sin embargo, hay muchos casos en los que el impacto de la correlación de la muestra no es tan claro. Por ejemplo, los métodos de Markov Chain Monte Carlo como Metropolis Light Transport generan una corriente de muestras correlacionadas usando una cadena de Markov; los métodos de muchas luces reutilizan un pequeño conjunto de rutas de luz para muchas rutas de cámara, creando muchas conexiones de sombra correlacionadas; incluso el mapeo de fotones gana su eficiencia al reutilizar los recorridos de luz a través de muchos píxeles, lo que también aumenta la correlación de la muestra (aunque de forma sesgada).

Todos estos métodos de representación pueden resultar beneficiosos en ciertas escenas, pero parecen empeorar las cosas en otras. No está claro cómo cuantificar la calidad del error introducido por estas técnicas, aparte de representar una escena con diferentes algoritmos de representación y observar si uno se ve mejor que el otro.

Entonces la pregunta es: ¿cómo influye la correlación de la muestra en la varianza y la convergencia de un estimador de Monte Carlo? ¿Podemos de alguna manera cuantificar matemáticamente qué tipo de correlación muestral es mejor que otras? ¿Hay alguna otra consideración que pueda influir en si la correlación de la muestra es beneficiosa o perjudicial (por ejemplo, error de percepción, parpadeo de animación)?

Hay una distinción importante que hacer.

Los métodos de Markov Chain Monte Carlo (como Metropolis Light Transport) reconocen plenamente el hecho de que producen muchos altamente correlacionados, en realidad es la columna vertebral del algoritmo.

Por otro lado, existen algoritmos como el trazado de ruta bidireccional, el método de muchas luces, el mapeo de fotones, donde el papel crucial juega el muestreo de importancia múltiple y su heurística de equilibrio. La optimización del equilibrio heurístico se prueba solo para muestras que son independientes. Muchos algoritmos modernos tienen muestras correlacionadas y para algunos de ellos esto causa problemas y para algunos no.

El problema con las muestras correlacionadas se reconoció en el documento Conexiones probabilísticas para el rastreo bidireccional de rutas . Donde han alterado el equilibrio heurístico para tener en cuenta la correlación. Eche un vistazo a la figura 17 en el documento para ver el resultado.

Me gustaría señalar que la correlación es "siempre" mala. Si puede permitirse hacer una muestra nueva, hágalo. Pero la mayoría de las veces no puede permitírselo, por lo que espera que el error debido a la correlación sea pequeño.

Editar para explicar el "siempre" : quiero decir esto en el contexto de la integración MC

Donde mides el error con la varianza del estimador

Si las muestras son independientes, el término de covarianza es cero. Las muestras correlacionadas siempre hacen que este término sea distinto de cero, lo que aumenta la varianza del estimador final.

Esto es a primera vista algo contradictorio con lo que encontramos con el muestreo estratificado porque la estratificación reduce el error. Pero no puede probar que el muestreo estratificado converja al resultado deseado solo desde el punto de vista probabilístico, porque en el núcleo del muestreo estratificado no hay probabilidad involucrada.

Y el acuerdo con el muestreo estratificado es que básicamente no es un método de Monte Carlo. El muestreo estratificado proviene de reglas de cuadratura estándar para la integración numérica que funciona muy bien para integrar una función fluida en pequeñas dimensiones. Es por eso que se utiliza para manejar la iluminación directa, que es un problema de baja dimensión, pero su suavidad es discutible.

Por lo tanto, el muestreo estratificado es un tipo de correlación diferente que, por ejemplo, la correlación en los métodos Many Light.

La función de intensidad hemisférica, es decir, la función hemisférica de la luz incidente multiplicada por el BRDF, se correlaciona con el número de muestras requeridas por ángulo sólido. Tome la distribución de muestra de cualquier método y compárela con esa función hemisférica. Cuanto más similares son, mejor es el método en ese caso particular.

Tenga en cuenta que, dado que esta función de intensidad es típicamente desconocida , todos esos métodos usan heurística. Si se cumplen los supuestos de la heurística, la distribución es mejor (= más cercana a la función deseada) que una distribución aleatoria. Si no, es peor.

Por ejemplo, el muestreo de importancia usa el BRDF para distribuir muestras, lo cual es simple pero solo usa una parte de la función de intensidad. Una fuente de luz muy fuerte que ilumine una superficie difusa en un ángulo poco profundo obtendrá pocas muestras, aunque su influencia aún puede ser enorme. Metropolis Light Transport genera nuevas muestras de las anteriores con alta intensidad, lo que es bueno para algunas fuentes de luz fuertes, pero no ayuda si la luz llega de manera uniforme desde todas las direcciones.