¿Cómo se calculan los efectos de la precesión en las órbitas elípticas?

La primera ley de Kepler establece que los planetas (y todos los cuerpos celestes que orbitan alrededor de otro cuerpo) viajan en órbitas elípticas, que tienen fórmulas bien conocidas que hacen que sea relativamente fácil calcular los elementos orbitales y el comportamiento asociado. Sin embargo, la precesión en curso significa que la órbita está cambiando constantemente, ¡por lo que el planeta no está viajando en la elipse en la que se estableció originalmente! Puede calcular la precesión y sus efectos relacionados ( esta pregunta y respuesta son útiles), pero ¿hay alguna manera de calcular cómo la órbita elíptica será "deformada" por la precesión?

Un buen punto de partida sería <insertar el nombre de algún científico de hace mucho tiempo> ecuaciones de movimiento planetarias. Por ejemplo, hay ecuaciones planetarias de Lagrange (a veces llamadas ecuaciones planetarias de Lagrange-Laplace), ecuaciones planetarias de Gauss, ecuaciones planetarias de Delaunay, ecuaciones planetarias de Hill y muchas más. El tema común entre estas diversas ecuaciones planetarias es que producen las derivadas temporales de varios elementos orbitales en función de las derivadas parciales de la fuerza perturbadora / potencial perturbador con respecto a alguna posición generalizada.

En general, las únicas palabras que pueden describir el resultado de este proceso al principio es "desastre". Un desastre caliente no disuadió a esas brillantes mentes de antaño. A través de varios supuestos simplificadores y promedios de tiempo a largo plazo, obtuvieron descripciones bastante simples de, por ejemplo, (precesión absidal) y (precesión plana). Puede ver algo de esto en el trabajo de 1900 citado por Hill a continuación.$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Si bien estas técnicas son antiguas, estas ecuaciones planetarias todavía se usan hoy en día. Que a veces tienes un "desastre" está bien ahora que tenemos computadoras. Las personas utilizan ecuaciones planetarias junto con técnicas de integración geométrica para obtener integradores que son rápidos, precisos, estables y conservan el momento angular y la energía durante largos períodos de tiempo. (Normalmente, no puedes tener todo esto. Tienes suerte si obtienes solo dos o tres). Otra buena característica de estas ecuaciones planetarias es que te permiten ver características tales como resonancias que de otra manera están oscurecidas por el verdadero " desorden "de las ecuaciones cartesianas de movimiento.

Material de referencia seleccionado, ordenado por fecha:

Hill (1900), "Sobre la extensión del método de Delaunay en la teoría lunar al problema general del movimiento planetario", Transactions of the American Mathematical Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 y posterior), "Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones", varias editoriales. Aparte del agujero que atraviesa su billetera, no puede equivocarse con este libro.

Efroimsky (2002), "Ecuaciones para los elementos keplerianos: simetría oculta", Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones

Efroimsky y Goldreich (2003), "Simetría de calibre del problema del cuerpo N en el enfoque de Hamilton-Jacobi". Journal of Mathematical Physics , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), curso de posgrado sobre sistemas planetarios, Instituto de Astronomía, Cambridge.
Los resultados de las ecuaciones planetarias de Lagrange se presentan en la diapositiva 6.

Ketchum y col. (2013), "Resonancias medias de movimiento en sistemas de exoplanetas: una investigación sobre el comportamiento de cabeceo" El diario astrofísico 762.2.

La única órbita elíptica verdaderamente confocal es la de una partícula de prueba unida en el potencial central o, de manera equivalente, la de dos masas puntuales (con distribuciones de masa interna esféricamente simétricas) que se atraen entre sí con la gravedad newtoniana (y tienen negativas energía total, es decir, estar unidos entre sí).$-k/r$

Todo lo demás es no elíptico (las órbitas no unidas son parabólicas o hiperbólicas), pero la mayoría de las desviaciones son pequeñas. Pueden surgir pequeñas desviaciones de varias fuentes, incluidos los términos de cuadrupolo en la distribución de masa de los cuerpos (en particular el Sol), las fuerzas no gravitacionales (presión de radiación y arrastre de gas en los granos de polvo), los efectos no newtonianos (GR), perturbaciones de otros objetos (todos los otros planetas). Newton mismo era muy consciente de este último efecto.

Si las desviaciones son pequeñas, entonces la forma tradicional de estimarlas es la teoría de la perturbación , donde se integra la fuerza perturbadora a lo largo de la órbita no perturbada (elíptica). Por ejemplo, para obtener la precesión del periapsis, uno podría integrar los cambios en el vector de excentricidad. Una rotación de ese vector corresponde a la precesión de periapsia. Vea mi respuesta a esta pregunta , para un ejemplo de exactamente eso.

David Hammen escribió

Las personas usan ecuaciones planetarias junto con técnicas de integración geométrica ...

También podría intentar (lo que yo llamo) una simulación simple de pasos finitos usando las leyes de Newton para operar sobre masas de objetos, posiciones, velocidades y aceleraciones. No estoy seguro si esto cae dentro de lo que David llama "técnicas de integración geométrica". Mi punto es que puedes hacerlo sin incorporar las ecuaciones planetarias. Desventaja = el simulador "corta esquinas" usando aproximaciones y esto conduce a comportamientos en el modelo que son artefactos. Estas desventajas pueden superarse mediante el uso de otras técnicas. Ventaja = facilita el diseño del código, evita la sospecha de que las ecuaciones planetarias (y sus supuestos) están impulsando el espectáculo.

No es necesario ser un experto en métodos numéricos para utilizar la técnica simple de integración de Leapfrog (descrita en detalle en Feynman Lectures vol. I ) para modelar las órbitas newtonianas en órbitas del sistema solar durante períodos de hasta unos pocos siglos. Al ejecutar simulaciones en varios pasos de tiempo (p. Ej. ) trazando los resultados en Excel, ajustando una curva y extrapolando a$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$puede obtener resultados para la precesión newtoniana promedio a largo plazo que están dentro del 1% de las cifras aceptadas. Otra ventaja sobre los métodos analíticos que producen resultados promedio a largo plazo es que puede examinar comportamientos en escalas de tiempo más cortas. Por ejemplo, si grafica la dirección del perihelio frente al tiempo para un determinado planeta (por ejemplo, Mercurio), puede ver las fluctuaciones periódicas de años en la tasa de precesión como resultado del movimiento de Júpiter alrededor del Sol. También es muy divertido (y muy fácil una vez que ha escrito el código básico) jugar "¿y si?" simulaciones variando el número y las propiedades de los cuerpos en el sistema e incluso agregando fuerzas no newtonianas adicionales. $\approx 11.9$

Para citar a Feymnan: -

Puede ser que en un ciclo de cálculo, dependiendo del problema, tengamos 30 multiplicaciones, o algo así, por lo que un ciclo tomará 300 microsegundos. Eso significa que podemos hacer 3000 ciclos de cálculo por segundo. Para obtener una precisión de, digamos, una parte en mil millones, necesitaríamos 4 × 10 ^ 5 ciclos para corresponder a una revolución de un planeta alrededor del sol. Eso corresponde a un tiempo de cálculo de 130 segundos o aproximadamente dos minutos. Por lo tanto, solo lleva dos minutos seguir a Júpiter alrededor del sol, ¡con este método todas las perturbaciones de todos los planetas se corrigen a una parte en mil millones!

Pero debe pensar cuidadosamente sobre lo que puede inferir de manera confiable de las simulaciones; por ejemplo, si su paso de tiempo es más largo que unos pocos cientos de segundos, la simulación indicará una precesión en la dirección opuesta a la que realmente ocurre (es decir, retrógrada cuando debe ser prograde).