¿De dónde vino esta famosa fórmula de precesión planetaria?

La siguiente ecuación (que denominaré Fórmula de Precesión Planetaria, PPF para abreviar) apareció en una publicación de 1915 de Einstein donde indicó cómo podría derivarse de su Teoría General de la Relatividad (GTR).

$$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$$

donde es la precesión angular (anómala, no newtoniana) por órbita, es el eje semi-mayor de la órbita, es la velocidad de la luz, es el período orbital, es la elipticidad de la órbita.$\epsilon$$a$$c$$T$$e$

La fórmula PPF predice con precisión la precesión (anómala, no newtoniana) de Mercurio y otros planetas solares.

La fórmula se conocía en los círculos científicos mucho antes de 1915. Por ejemplo, Gerber (1898) la derivó de su propio modelo de gravedad (ampliamente ridiculizado). En el artículo de internet Gravedad de Gerber está escrito que

Se convirtió en una actividad bastante popular en la década de 1890 para que los físicos propongan varios potenciales gravitacionales basados ​​en la velocidad de propagación finita para dar cuenta de parte o la totalidad de la precesión orbital de Mercurio. Oppenheim publicó una revisión de estas propuestas en 1895. El resultado típico de tales propuestas es un avance no newtoniano previsto de perihelia orbital por revolución de ...>

$$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$$

donde es el recto semiloto de una elipse, es una función de la velocidad angular de un planeta en órbita: con y es una constante que puede derivarse de la teoría.$L = a(1 - e^2)$$m$$\omega$$m = a^3 \omega^2$$\omega = 2\pi/T$$k$

Claramente con obtenemos la fórmula PPF dada anteriormente.$k = 6$

Deseo saber de dónde viene la expresión . Del artículo parecería provenir del artículo de revisión de 28 páginas de Oppenheim, 1895 que se escanea aquí . He revisado los escaneos de este documento, pero sin encontrar esa ecuación explícitamente (el documento está en alemán, que sé muy mal, Google Translate ayuda un poco, pero deja mucha ambigüedad). Puede ser que el autor anónimo del artículo extraiga la expresión de una revisión del artículo de Oppenheim o incluso de los documentos originales (francés y alemán), pero no se puede contactar con él. ¿Quizás alguien aquí esté familiarizado con esta era de la historia astrofísica y pueda señalarme en la dirección correcta?$k\pi m/Lc^2$

No sé dónde se publicó por primera vez esa fórmula completa, pero Oppenheim al menos hace algo muy parecido . Primero, tenga en cuenta algunos de los símbolos relevantes en Oppenheim, aunque son bastante estándar: Podemos vemos que si damos masajes a la notación, la proporcionalidad que estamos buscando se indica de manera equivalente como

$$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$$ $$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$$ Como el movimiento medio es , donde es el período orbital, que significa que si queremos hablar sobre un avance del perihelio de por órbita, es equivalente a hablar sobre un término en la forma No puedo encontrar dónde, si es que en algún lugar , Oppenheim considera el factor faltante de$n\equiv 2\pi/T$$T$ $$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$$ $\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ $$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$$ $(1-e^2)$como perteneciente a la precesión anómala, pero por lo demás la fórmula definitivamente está ahí. Sospecho que solo usa una aproximación de órbita circular, , porque no se encuentra en ninguna parte en la Sec. IV (teoría de Weber de 1846) y realizar su cálculo (sin ) me da por siglo para Mercurio, de acuerdo con su resultado declarado de , mientras que poner a mano un factor de da .$e^2\approx 0$$1-e^2$$\delta\varpi = 13.72''$$\delta\varpi = 13.65''$$(1-e^2)$$\delta\varpi = 14.32''$

Tal vez Oppenheim no lo consideró explícitamente y el autor MathPageslo consideró obvio que el factor de excentricidad debería estar allí. O tal vez hay un comentario secundario en el texto que no veo; desafortunadamente, no tengo el suficiente fluidez en alemán para entender mucho de lo que está sucediendo.