¿Por qué las órbitas son elípticas en lugar de circulares?

¿Por qué los planetas giran alrededor de una estrella en una órbita elíptica específica con la estrella en uno de sus focos? ¿Por qué la órbita no es un círculo?

Suponga que el planeta tiene una masa insignificante en comparación con la estrella, que ambos son esféricamente simétricos (por lo que la ley de gravitación de Newton se cumple, pero esto normalmente sucede con una muy buena aproximación de todos modos), y que no hay fuerzas además de la gravedad entre ellos . Si la primera condición no se cumple, entonces la aceleración de cada uno será hacia el baricentro del sistema, como si el baricentro les atrajera una fuerza gravitacional con cierta masa reducida, por lo que el problema es matemáticamente equivalente.

Tome la estrella para estar en el origen. Según la ley de gravitación de Newton, la fuerza es , donderes el vector para el planeta,mes su masa yμ=GMes el parámetro gravitacional estándar de la estrella.$\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$$\mathbf{r}$$m$$\mu = GM$

Leyes de conservación

Debido a que la fuerza es puramente radial , el momento angular L = r × p se conserva: ˙ L = $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$$\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$ Si la velocidad inicial es distinta de cero y la estrella está en el origen, entonces, en términos de la posición inicial y la velocidad, la órbita debe limitarse al plano de todos los puntos con vectoresxdel origen que satisfaganL⋅x=0. Si la velocidad inicial es cero, entonces el movimiento es puramente radial, y podemos tomar cualquiera de los infinitos planos que contienen el baricentro y la posición inicial.

$$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$$ $\mathbf{x}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$

La energía orbital total viene dada por donde la parte del primer término es la energía cinética y el segundo término es la energía potencial gravitacional del planeta. Su conservación, así como el hecho de que invoca la energía potencial correcta, puede demostrarse mediante el teorema fundamental del cálculo para integrales de línea.

$$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$$

Defina el vector de Laplace-Runge-Lenz como También se conserva: ˙

$$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$$ $$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$$

Finalmente, tomemos también , que tiene las mismas unidades que r , y dado que L ⋅ f = 0 , se encuentra a lo largo del plano orbital. Como es un vector conservado escalado por un escalar conservado, es fácil mostrar que f también se conserva, siempre que E ≠ $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$$\mathbf{r}$$\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$$\mathbf{f}$$\mathcal{E}\neq 0$ .

Simplificando

Al emplear el producto triple vectorial, podemos escribir cuya norma al cuadrado es fácil de extraer: E2| f-r| 2=(E+m

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$$ dondese usóEpara cambiar entre términos cinéticos y potenciales. $$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$$ $\mathcal{E}$

¿Por qué elipses?

Como es energía relativa al infinito, para tener una órbita unida necesitamos E < 0 . Así, de la sección anterior, | f - r | = - E - 1 ( E r + m μ ) y por lo tanto | f - r | + | r | = - m $\mathcal{E}$$\mathcal{E}<0$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$ que define una elipse con focos0

$$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$$ y eje mayor 2 un = - m μ / E .$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

¿Por qué no círculos?

$\mathbf{f} = \mathbf{0}$

$$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$$ $\mathcal{E}<0$

$\mathcal{E}>0$$\mathcal{E}=0$$\mathbf{f}$

$\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

Es posible que un planeta tenga una órbita circular, un círculo, después de todo, es una elipse donde ambos focos están en el mismo lugar; Esto se conoce como tener una excentricidad de 0 . La excentricidad se define de la siguiente manera:

$$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$$ dónde $r_{a}$ es la apoapsis (el punto más alejado de la órbita desde el centro de masa), y $r_{p}$es la periapsis (la distancia más cercana). Solo para construir algo de intuición aquí, si la apoapsis es el doble de la distancia de la periapsis, la excentricidad será$e=0.333$.

De todos los planetas del sistema solar, Venus , con una excentricidad de 0.007, tiene la órbita más circular.

En cuanto a por qué todas las órbitas no son redondas, se reduce a energía cinética . La energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad. En el plano orbital y en coordenadas polares sobre la estrella, podemos descomponer esto en una combinación de velocidad radial$\dot{r}$ y velocidad angular $\dot{\phi}$:

$$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$$ Como los círculos tienen radios constantes, para que la órbita sea circular alrededor de la estrella, la velocidad radial del planeta debe ser exactamente cero. Además, la velocidad angular debe ser tal que la fuerza centrífuga en el marco de rotación equilibre exactamente la fuerza gravitacional: un poco más o un poco menos, el desequilibrio cambiará la velocidad radial, estropeando el círculo.

Dado el hecho de que las velocidades varían por una gran cantidad de razones, no es de extrañar que solo unas pocas órbitas terminen siendo circulares, y considerando que las órbitas reales cambian con el tiempo , sabemos que no pueden permanecer así por mucho tiempo.

Si está buscando una prueba matemática, este enlace comparte algunos detalles al respecto .

Aquí hay una imagen que muestra la excentricidad de algunos cuerpos en el sistema solar extraídos de aquí :

Siempre prefiero las respuestas que intentan evitar cualquier fórmula y responden a la argumentación. Con respecto a la parte de la pregunta de por qué no todas las órbitas son circulares, una argumentación sería así:

Considere una estrella estacionaria y un planeta en movimiento. Para cada impulso que pueda tener el planeta, se puede predecir una curva para su movimiento adicional. Si este impulso se dirige exactamente ortogonal a la línea de la estrella al planeta, y si la velocidad tiene la cantidad exacta , entonces esta curva de movimiento puede ser un círculo exacto.

Pero por cada desviación de este impulso exacto, la curva resultante no puede ser un círculo:

• Si la velocidad es demasiado baja, el planeta caerá hacia la estrella (en el caso extremo de un impulso de cero, esta caída será en línea recta).
• Si la velocidad es demasiado alta, el planeta ganará distancia de la estrella (similar a un tirachinas).
• Si el impulso no es directamente ortogonal a la línea de la estrella, el primer movimiento moverá hacia o desde la estrella, por lo que nuevamente la curva no será un círculo.

Entonces, uno puede simplemente argumentar que un círculo es un caso muy especial para la curva que un planeta puede tomar alrededor de una estrella.