¿Hay una estrella sobre mi cabeza?

Digamos que estoy parado derecho, y dibujo una línea recta desde mi núcleo a través de la parte superior de mi cabeza (perpendicular al suelo). ¿Cuál es la probabilidad de que esa línea se cruce con una estrella?

EDITAR: no estoy tratando de excluir ninguna estrella. Esto debería incluir las estrellas que hemos observado y las estrellas que aún no hemos observado, pero que pueden predecir debido a otras cosas que hemos determinado (como la densidad de estrellas del universo). También debe incluir todas las estrellas, independientemente del límite de magnitud a simple vista.

Resumen

Hay una probabilidad de 1 en 500 mil millones de estar debajo de una estrella fuera de la Vía Láctea, una probabilidad de 1 en 3,3 mil millones de estar debajo de una estrella de la Vía Láctea, y una probabilidad de 1 en 184 mil de estar debajo del Sol a la derecha ahora.

Grande, gordo, apestoso, ¡Advertencia! Hice lo mejor que pude para mantener mis cálculos, pero esto es todo lo que se me ocurrió. No garantizo que sea completamente exacto, pero los números parecen pasar el control de cordura, así que creo que estamos bien.

_{Advertencia : los números de estrellas distintas del Sol se basan en datos con mucha incertidumbre, como el número de estrellas en el universo y el tamaño promedio de una estrella. Los números anteriores podrían desviarse fácilmente por un factor de 10 en cualquier dirección, y están destinados simplemente a dar una idea aproximada de cuán vacío es el espacio.}

_{Advertencia : los números para el Sol y la Vía Láctea se basan en la suposición de que estás parado (o flotando) en un punto aleatorio de la Tierra. Cualquier persona fuera de los trópicos nunca tendrá el Sol sobre su cabeza. Las personas en el hemisferio norte tienen más probabilidades de tener estrellas de la Vía Láctea sobre sus cabezas, con las mejores probabilidades de ser personas cercanas a 36.8 ° N, porque a esa latitud pasa directamente por el centro galáctico una vez al día. ²⁶}

_{Nota : Puedes ignorar todo en esta respuesta y solo mirar el ángulo sólido del Sol para obtener el mismo resultado. Todas las otras estrellas están muy lejos y muy dispersas. La diferencia en el ángulo sólido subtendido es cinco milésimas de porcentaje más cuando agregamos el resto del universo al Sol.}

Antecedentes

Intentemos obtener un número difícil, algo realista. Para hacer eso, necesitaremos algunas suposiciones.

Como se señaló en la respuesta ^{1 de} Michael Walsby , si el universo es infinito (y homogéneo ² ), solo hay una posibilidad infinitesimal de que no haya una estrella en lo alto, lo que las matemáticas normales tratan como una probabilidad exactamente cero. Así que supongamos que el universo es finito.

Presunciones

• Específicamente, supongamos que el universo solo consiste en el universo observable. (Consulte la expansión del universo ³ para obtener más información).
• Además, supongamos que los contenidos del universo observable se miden en sus posiciones actuales (presuntas), no en la posición en la que parecen estar. (Si vemos la luz de una estrella de 400 millones de años después del comienzo del universo, la mediríamos a unos 13.500 millones de años luz de distancia, pero calculamos que es probable que esté más cerca de 45.000 millones de años luz debido a la expansión).
• Tomaremos el número de estrellas en el universo observable como . Una estimación de 2013 ⁴ fue , una estimación de 2014 ⁵ fue , y una estimación de 2017 ⁶ fue , y cada artículo espera que la estimación aumente a medida que obtengamos mejores telescopios con el tiempo. Entonces tomaremos el valor más alto y lo usaremos.$10^{24}$ 10 21 10 23 10 24$10^{21}$$10^{23}$$10^{24}$
• Tomaremos el tamaño del universo observable ⁷ como , dando un área de superficie ⁸ de ⁹ , y un volumen ¹⁰ de ¹¹ .$8.8\cdot10^{26} \text{m (diameter)}$2.433 ⋅ 10 54 m 2 3.568 ⋅ 10 80 m 3$2.433\cdot10^{54} \text{m}^2$ $3.568\cdot10^{80} \text{m}^3$
• Tomaremos el tamaño promedio de una estrella como el tamaño del Sol, ¹² . (No puedo encontrar ninguna fuente para el tamaño promedio de una estrella, solo que el Sol es una estrella promedio).$1.4\cdot10^{9}\text{m (diameter)}$

Modelo

A partir de aquí, vamos a hacer trampa un poco. Siendo realistas, debemos modelar cada galaxia por separado. Pero solo vamos a pretender que todo el universo es perfectamente uniforme (esto es lo suficientemente cierto a medida que nos alejamos de la Tierra en el gran esquema del cosmos). Además, comenzaremos a contar lo suficiente como para ignorar por completo la Vía Láctea y el Sol, luego los agregaremos más tarde con diferentes cálculos.

Dadas las presunciones anteriores, podemos calcular fácilmente la densidad estelar del universo observable como ¹³ .$\delta = \frac{10^{24}\text{stars}}{3.568\cdot10^{80} m^3} = 2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

Luego, necesitamos calcular el ángulo sólido ¹⁴ subtendido por una estrella. El ángulo sólido de una esfera viene dado por ¹⁵ , donde es el ángulo sólido en steradians ¹⁶ (sr), es la distancia a la esfera y es el radio de la esfera. Usando como diámetro, eso se convierte en . Dado el diámetro promedio presumido anteriormente ( ), esto da un ángulo sólido promedio de$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-r^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ΩdrDΩ=2π(1- √$\Omega$$d$$r$$D$$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-\left(\frac{D}{2}\right)^2}}{d}\right)\text{ sr}$$1.4\cdot10^{9}\text{m}$$\Omega=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d}\right)\text{ sr}$ ¹⁷ .

En este punto, podríamos establecer una integral adecuada, pero mi cálculo es bastante oxidado y, para empezar, no es muy agudo. Así que voy a aproximar la respuesta usando una serie de capas concéntricas, cada una con un grosor de (aproximadamente un millón de años luz). Guardaremos nuestro primer shell , y luego saldremos de allí.$10^{22}\text{m}$$10^{22}\text{m}$

Calcularemos el ángulo sólido total de cada capa, luego sumaremos todas las capas para obtener el ángulo sólido subtendido por todo el universo observable.

El último problema a solucionar aquí es el de la superposición. Algunas estrellas en los depósitos más lejanos se superpondrán a las estrellas en los depósitos cercanos, haciendo que sobreestimemos la cobertura total. Así que calcularemos la probabilidad de que una estrella se superponga y modificaremos el resultado desde allí.

Ignoraremos cualquier superposición dentro de un caparazón dado, modelando como si cada estrella en un caparazón estuviera a una distancia fija, distribuida uniformemente en todo el caparazón.

Probabilidad de superposición

Para que una estrella determinada se superponga con las estrellas más cercanas, debe estar en una posición ya cubierta por las estrellas más cercanas. Para nuestros propósitos, trataremos las superposiciones como binarias: la estrella se superpone totalmente o no se superpone en absoluto.

La probabilidad estará dada por la cantidad de ángulo sólido ya subtendido por capas anteriores dividido por el ángulo sólido total en el cielo ( ).$4\pi\text{ sr}$

Llamemos a la probabilidad de que una estrella dada, , se superponga , el ángulo sólido subtendido por esa estrella , y el número de estrellas . La cantidad de ángulo sólido no superpuesto subtendido por un caparazón dado, , es entonces . Como hemos dicho que las estrellas en un caparazón no se superponen entre sí, es el mismo para todo en un caparazón dado, lo que nos permite simplificar la ecuación anterior a , donde$i$$P_i$$\Omega_i$$n$$k$$\Omega_{kT}=(1-P_1)\Omega_1+(1-P_2)\Omega_2+\ldots+(1-P_n)\Omega_n\frac{\text{ sr}}{star}$$P_i$$i$$\Omega_{kT}=(1-P_k)(\Omega_1+\Omega_2+\ldots+\Omega_n)\frac{\text{ sr}}{star}$$P_k$es la probabilidad de superposición para el shell . Dado que tratamos a todas las estrellas como si tuvieran el mismo tamaño promedio, esto se simplifica aún más a , donde es el ángulo sólido de una estrella en la concha .$k$$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k n\frac{\text{ sr}}{star}$$\Omega_k$$k$

Cálculo del ángulo sólido

El número de estrellas en una concha viene dado por el volumen de la concha multiplicado por la densidad estelar de dicha concha. Para conchas lejanas, podemos tratar el volumen de la concha como su área de superficie multiplicada por su grosor. , donde es la distancia al shell es su grosor. Usando como la densidad estelar, el número de estrellas es simplemente .$V_\text{shell}=4\pi d^2 t$$d$$t$$\delta$$n=\delta V_\text{shell}=\delta 4\pi d^2 t$

A partir de aquí, podemos usar el cálculo del ángulo sólido de un caparazón (de Probability of Overlap , arriba) para obtener .$\Omega_{kT}=(1-P_k)\Omega_k \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{ sr}}{star}$

Tenga en cuenta que viene dado por la suma parcial del ángulo sólido para todas las capas anteriores dividido por el ángulo sólido total. Y viene dado por (del Modelo , arriba).$P_k$$\Omega_k$$\Omega_k=2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right)\frac{\text{ sr}}{star}$

Esto nos da . Dado que cada shell está a distancia, podemos sustituir con . Del mismo modo, puede sustituirse con . Y ya calculamos (del Modelo , arriba).$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\text{ sr}$$10^{22}\text{m}$$d_k$$k 10^{22}\text{m}$$t$$10^{22}\text{m}$$\delta=2.803\cdot10^{-57} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

Esto nos da
$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k 10^{22}\text{m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{k 10^{22}\text{m}}\right) 2.803\cdot10^{-57}\frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k 10^{22}\text{m})^2 10^{22}\text{m}\frac{\text{ sr}}{star}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right) 2.803\cdot10^{-57} 8\pi^2 k^2 10^{66}\text{ sr}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\,2.213\cdot 10^{11}\,k^2\left(1-\frac{\sqrt{k^2 10^{44}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{22}}\right)\text{ sr}$

Desde aquí, podemos simplemente conectar los números a un programa de cálculo.

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{k_\text{max}} \Omega_{kT}$

Donde es solo el radio del universo observable dividido por el grosor de un caparazón dado. Así$k_\text{max}$$k_\text{max}$$=\frac{4.4\cdot 10^{26} \text{m}}{10^{22} \text{m}}$$=4.4\cdot 10^4$$=44000$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{44000} \Omega_{kT}$

Resultados

Debido a la gran cantidad de personas involucradas, es difícil ejecutar esto en un programa. Recurrí a escribir un programa C ++ personalizado usando la biblioteca ttmath ¹⁸ para grandes números. El resultado fue , o de todo el cielo. Por el contrario, hay una probabilidad de 1 en 500 mil millones de estar bajo una estrella en este momento.$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$$1.898\cdot 10^{-12}$

Tenga en cuenta que ignoramos la Vía Láctea y el Sol por esto.

_{El programa C ++ se puede encontrar en PasteBin ²⁵ . Tendrás que hacer que ttmath funcione correctamente. Agregué algunas instrucciones en la parte superior del código de C ++ para que pueda comenzar si desea que funcione. No es elegante ni nada, solo lo suficiente para funcionar.}

El sol

WolframAlpha me informó que el Sol tiene un ángulo sólido de aproximadamente , o aproximadamente 2.8 millones de veces más que todas las estrellas del universo combinadas. La fórmula de ángulo sólido anterior da la misma respuesta ¹⁸ si proporcionamos la distancia de 150 gigametros del Sol y el radio de 0.7 gigametros.$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$

La vía Láctea

Podríamos obtener una aproximación para la Vía Láctea tomando su tamaño y densidad y haciendo los mismos cálculos que antes, excepto en una escala más pequeña. Sin embargo, la galaxia es muy plana, por lo que las probabilidades dependen en gran medida de si te encuentras en el plano galáctico o no. Además, estamos a un lado, por lo que hay muchas más estrellas hacia el centro galáctico que lejos.

Si aproximamos la galaxia como un cilindro con un radio de (aproximadamente 52000 años luz) y una altura de (aproximadamente 2 años luz), obtenemos un volumen de ²⁰ .$5\cdot 10^{20}\text{ m}$$2\cdot 10^{16}\text{ m}$$1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3$

_{Las estimaciones actuales del radio de la galaxia están más cerca de 100000 años luz ^{21 22} , pero supongo que la gran mayoría de las estrellas están mucho más cerca que eso.}

Se estima que hay entre 100 y 400 mil millones de estrellas en la Vía Láctea ²¹ . Escojamos 200 mil millones para nuestros propósitos. Esto pone la densidad de la Vía Láctea en ²² , o aproximadamente 4.5 mil millones de veces más denso que el universo en general.$\delta = \frac{200\cdot10^{9}\text{stars}}{1.571\cdot 10^{58}\text{ m}^3} = 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3}$

Esta vez, tomaremos conchas de grosor (unos 10 años luz) y saldremos de allí. Pero necesitamos reorganizar las matemáticas en una forma esférica, por lo que supondremos que la galaxia tiene el mismo volumen, pero es una esfera. Esto le da un radio de ²⁴ , o 155.4 shells. Redondearemos a 155 proyectiles.$10^{17}\text{ m}$$1.554\cdot 10^{19}\text{ m}$

$\Omega_{T}=\sum_{k=1}^{155} \Omega_{kT}$

Usando nuestra fórmula de arriba ( Cálculo del ángulo sólido ), podemos comenzar a sustituir números.

$\Omega_{kT}=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{d_k^2-4.9\cdot10^{17}\text{m}^2}}{d_k}\right) \delta 4\pi d^2 t\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)2\pi\left(1-\frac{\sqrt{(k\cdot 10^{17}\text{ m})^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k\cdot 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 4\pi (k\cdot 10^{17}\text{ m})^2 10^{17}\text{ m}\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}\text{ m}^2-4.9\cdot10^{17}\text{ m}^2}}{k 10^{17}\text{ m}}\right) 1.273\cdot 10^{-47} \frac{\text{stars}}{\text{m}^3} 8\pi^2 k^2 10^{51}\text{ m}^3\frac{\text{sr}}{\text{star}}$

$=\left(1-\frac{\Omega_{(k-1)T}}{4\pi}\right)\cdot\,1.005\cdot 10^6\,k^2\,\left(1-\frac{\sqrt{k^2\cdot 10^{34}-4.9\cdot10^{17}}}{k 10^{17}}\right)\text{ sr}$

Al conectar esto al programa, se obtienen , que es del cielo total. Las probabilidades de que te encuentres debajo de una estrella en la Vía Láctea son de 1 en 3.3 mil millones.$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$$3.037\cdot 10^{-10}$

Totales de ángulo sólido

Ángulo sólido es:

• Sol,$6.8\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
• Vía Láctea,$3.816\cdot 10^{-9}\text{ sr}$
• Universo,$2.386\cdot 10^{-11}\text{ sr}$
• Total, (los dígitos adicionales básicamente no tienen sentido, agregando aproximadamente cinco milésimas de porcentaje al ángulo sólido del Sol) $6.800384\cdot 10^{-5}\text{ sr}$
• Vía Láctea más Universo, (aproximadamente 0.6% más que solo la Vía Láctea)$3.840\cdot 10^{-9}\text{ sr}$

Referencias

_{¹ Respuesta de Michael Walsby a esta pregunta , ¿hay una estrella sobre mi cabeza? . https://astronomy.stackexchange.com/a/33294/10678
² Un artículo de Wikipedia , Principio cosmológico . https://en.wikipedia.org/wiki/Cosmological_principle
³ Un artículo de Wikipedia , Expansión del universo . https://en.wikipedia.org/wiki/Expansion_of_the_universe
⁴ Una búsqueda UCSB ScienceLine , ¿Aproximadamente cuántas estrellas hay en el espacio? , desde 2013. https://scienceline.ucsb.edu/getkey.php?key=3775
⁵ AArtículo de Sky and Telescope , ¿Cuántas estrellas hay en el universo? , de 2014. https://www.skyandtelescope.com/astronomy-resources/how-many-stars-are-there/
⁶ Un artículo de Space.com , ¿Cuántas estrellas hay en el universo? , de 2017. https://www.space.com/26078-how-many-stars-are-there.html
⁷ Un artículo de Wikipedia , Universo observable . https://en.wikipedia.org/wiki/Observable_universe
⁸ Un artículo de Wikipedia , Esfera , sección Volumen adjunto . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Enclosed_volume
⁹ Un cálculo de WolframAlpha , área de superficie de una esfera, diámetro 8.8 * 10 ^ 26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=surface+area+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹⁰ Un artículo de Wikipedia , Esfera , sección Superficie . https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area
¹¹ Un cálculo de WolframAlpha , volumen de una esfera, diámetro 8.8 * 10 ^ 26 m . https://www.wolframalpha.com/input/?i=volume+of+a+sphere%2C+diameter+8.8*10%5E26+m
¹² Un nineplanets.org artículo, El Sol .https://nineplanets.org/sol.html
¹³ Un cálculo de WolframAlpha , (10 ^ 24 estrellas) / (3.568⋅10 ^ 80 m ^ 3) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2810%5E24+stars%29+%2F+%283.568%E2%8B%8510%5E80+m%5E3%29
¹⁴ Un artículo de Wikipedia , ángulo sólido . https://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle
¹⁵ Respuesta ^de Harish Chandra Rajpoot a una pregunta de geometry.se , Cálculo del ángulo sólido para una esfera en el espacio . https://math.stackexchange.com/a/1264753/265963
¹⁶ Un artículo de Wikipedia , Steradian .https://en.wikipedia.org/wiki/Steradian
¹⁷ Un cálculo de WolframAlpha , 2 * pi * (1-sqrt (d ^ 2- (1.4 * 10 ^ 9 m / 2) ^ 2) / d) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281-sqrt%28d%5E2-%281.4*10%5E9+m%2F2%29%5E2%29%2Fd%29
¹⁸ Sitio web por ttmath. https://www.ttmath.org/
¹⁹ Un cálculo de WolframAlpha , 2 * pi * (1 - sqrt (d ^ 2 - r ^ 2) / d), donde d = 150 mil millones, r = 0.7 mil millones . https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*pi*%281+-+sqrt%28d%5E2+-+r%5E2%29%2Fd%29%2C+where+d+%3D+150 + billones% 2C + r% 3D0.7 + billones
²⁰ A Cálculo WolframAlpha , pi * (5 * 10 ^ 20 m) ^ 2 * (2 * 10 ^ 16 m) .https://www.wolframalpha.com/input/?i=pi+*+%285*10%5E20+m%29%5E2+*+%282*10%5E16+m%29
²¹ Un artículo de Wikipedia , Milky Way . https://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way
²² Un artículo de Space.com de 2018, tomaría 200,000 años a la velocidad de la luz cruzar la Vía Láctea . https://www.space.com/41047-milky-way-galaxy-size-bigger-than-thought.html
²³ Un cálculo de WolframAlpha , (200 * 10 ^ 9 estrellas) / (1.571 * 10 ^ 58 m ^ 3 ) . https://www.wolframalpha.com/input/?i=(200*10^9+stars)+%2F+(1.571*10^58+m^3)
²⁴ Un cálculo de WolframAlpha ,resolver para r: (4/3) * pi * r ^ 3 = 1.571 * 10 ^ 58 m ^ 3 . https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+for+r%3A++%284%2F3%29*pi*r%5E3+%3D+1.571*10%5E58+m%5E3
²⁵ Mi programa C ++ código en PasteBin . https://pastebin.com/XZTzeRpG
²⁶ Publicación en un foro de física , Orientación de la Tierra, el Sol y el Sistema Solar en la Vía Láctea . Específicamente, la Figura 1 , que muestra ángulos de 60.2 ° para el Sol y 23.4 ° menos que para la Tierra. https://www.physicsforums.com/threads/orientation-of-the-earth-sun-and-solar-system-in-the-milky-way.888643/}

En resumen: nadie lo sabe con certeza, pero actualmente parece que la probabilidad es 1.

Más tiempo: según nuestra comprensión actual, el Universo es probablemente infinito en el espacio. Esto depende de los resultados recientes del satélite WMAP , que han mostrado una curvatura cero del Universo por debajo de la precisión de medición. Las otras dos opciones eran una curvatura positiva (por lo tanto, viviríamos en una esfera 4D), o negativa:

Si la curvatura es exactamente cero (la última opción en la imagen), o es negativa, y el Universo no tiene alguna topología exótica , entonces es infinita.

Y un universo infinito tiene infinitas estrellas, por lo que no importa, dónde ves, en algún lugar encontrarás una estrella.

Sin embargo, lo más probable es que no tenga ninguna opción para verlo realmente: es casi seguro que está por encima del horizonte cosmológico , por lo tanto, no hay forma de obtener información o interactuar con él en ningún sentido, debido a la expansión del Universo. Tenga en cuenta que la expansión actualmente acelerada reduce continuamente incluso el recuento de las estrellas dentro del horizonte cosmológico.

Sin una expansión universal, todo el cielo estaría lleno de estrellas y sería tan ligero como el Sol ( paradoja de Olbers ).

Si solo cuenta las estrellas al lado del horizonte cosmológico, entonces la probabilidad es muy pequeña. El tamaño típico de las estrellas es del orden de 1 millón de km, y están a unos años luz de distancia entre sí ( km). Están veces más separados entre sí que su diámetro. E incluso este cálculo no cuenta que la mayoría del espacio del Universo no esté lleno de ninguna galaxia: las galaxias son objetos en forma de disco alrededor de 20 veces más lejos entre sí que su diámetro. Puede encontrar un cálculo más exacto en la bonita respuesta de MichaelJ .$\approx$$\approx 10^{13}$$\approx 10^7$

¿"Arriba" significa sobre el centro de su cabeza, o sobre alguna parte de su cabeza? Si asumimos lo último, ¡cambia el problema!

No quiero recapitular todo el hermoso trabajo de MichaelS anterior, así que haré un cálculo rápido al reverso del sobre tomando prestado de sus números.

El área de una cabeza humana como se ve desde arriba (o debajo) es, umm, veamos, el ancho promedio de la cabeza de 6 a 7 pulgadas, se convierte en unidades modernas, ignora que las cabezas no son redondas, eso es aproximadamente ancho, lo que hace justo debajo de por cabeza.$17cm$$0.03m^2$

El área de superficie de la Tierra parece ser de aproximadamente . Esa área corresponde a una superficie esférica completa a una distancia de un radio de la Tierra desde el centro de la Tierra.$500\cdot 10^{12} m^2$

A partir de esto, podemos determinar que una cabeza, vista desde el centro de la Tierra, cubre aproximadamente del cielo completo.$6\cdot 10^{-17}$

Si asumimos que esas estrellas (puede haber más o menos) están distribuidas uniformemente (no lo están), ¡hay ... muchísimas estrellas sobre tu cabeza en cualquier momento! Más de un millón, de hecho.$10^{24}$

Probablemente, tal vez.

Hay al menos dos formas de responder la pregunta. Una es preguntar cuáles fueron sus coordenadas cuando escribió la pregunta y exactamente qué hora era. Luego, tendremos que dibujar una línea en un modelo para ver qué golpeaste y si alguno de esos golpes son estrellas. Esto supone un mapa completo, lo cual es un problema. La respuesta es diferente para todos en la Tierra y cambia constantemente. Se convierte en la pregunta correcta si estamos en una nave espacial. Dada la inmensidad del espacio, probablemente sea mejor preguntar "¿Qué tan lejos hasta que lleguemos a algo?"

La otra respuesta es sobre la probabilidad. ¿Con qué frecuencia hay una estrella directamente encima? Sugeriré una forma de razonar al respecto. Parece que hay muchos factores limitantes. También señalaré algunos de esos.

Primero, un control intestinal. Nuestro Sol está directamente encima de una buena área de la Tierra en todo momento. El sol está relativamente cerca, por lo que su cobertura es especial. Sin embargo, parece probable que billones de miles de millones de otras estrellas tengan cubierto el resto del planeta.

Un excelente detalle de esta pregunta es si la línea que estás imaginando se cruza con una estrella. Supongo que esto significa si la línea abstracta atraviesa cualquier parte de la masa de la estrella, no solo su centro de masa u otros centros.

Lo más probable es que no estemos en el centro del Universo, si "centro del Universo" tiene algún significado. Se puede argumentar (se argumenta) que estamos en el centro del universo observable, esencialmente porque estamos mirando en todas las direcciones con el mismo equipo limitado. Entonces podemos imaginar una esfera gigante de observabilidad, solo para darle a este problema algo de espacio. Imagínese como un grano de arena flotando en el centro de un gran globo. En verdad, el grano de arena es demasiado grande en proporción a cualquier globo real, pero imagina que estamos en el centro de un globo en un grano imposiblemente pequeño.

Para las dimensiones del globo, considere una esfera con un radio de 4, donde las unidades son metros. La superficie de esa esfera será , o unidades cuadradas. Si preferimos no hablar en términos con un " " mezclado, son aproximadamente 200 de estas grandes unidades cuadradas.$1.1\times 10^{26}$$4\pi r^2$$64\pi$$\pi$

Imagine que esta es el área que estamos observando desde el centro del globo, sentada sobre nuestro grano de arena microscópico e imposiblemente concéntrico. Solo podemos ver la mitad del área a la vez (incluso menos, en realidad), pero estamos dando vueltas. Entonces podemos dibujar toda la superficie interior del globo a lo largo del día.

Entonces, aquí estamos, en esta especificación de arena, mirando la parte del globo que podemos ver. Uno de nosotros tiene un puntero láser que podemos usar para apuntar a diferentes partes del globo y hablar sobre ellas. De hecho, puede ser divertido imaginar que el puntero láser tenga una especie de modo "lápiz óptico" que podemos usar para dibujar inscripciones en la superficie del globo. Colocar su nombre en el cielo nocturno sería todo un espectáculo. Por el bien de la ilustración, debes imaginar que estos accesorios tienen propiedades metafísicas. No estamos realmente preocupados con la pluma de luz. Es solo para imaginar que estamos dibujando líneas.

Ahora imagine que tratamos de colocar dentro del globo, a escala, todas las cosas del universo observable o, en aras de la pregunta, solo las estrellas. Pondríamos todo dentro del globo precisamente donde estaría en relación con nuestro punto de vista.

Ahora podemos pasar, uno a la vez, y considerar cada estrella individualmente. Cada vez que examinamos una estrella, podemos trazar la línea hacia nosotros con nuestro puntero láser. Podríamos usar el bolígrafo de luz para trazar el contorno de la estrella con el puntero láser e inscribir un pequeño círculo en la superficie del globo detrás de él. Cada vez que hacemos esto con una estrella en particular, agregamos un círculo en el globo para construir un mapa plano de las estrellas. Podríamos procesar cada estrella, una por una, y eliminar cada estrella hasta que el globo esté vacío nuevamente. Somos solo nosotros, volviendo a mirar el mapa que hicimos.

Ahora digamos que el globo era originalmente rojo y nuestro bolígrafo estaba dibujando en verde. Digamos también que los círculos verdes que dibujamos estaban coloreados, llenos de verde. Después de haber procesado todas las estrellas, tenemos puntos verdes en todo el interior del globo. El tamaño de cada punto verde sería primero una función del tamaño de la estrella. Las estrellas más grandes tenderían a dibujar círculos relativamente más grandes en el mapa.

Esta analogía es imperfecta en muchos sentidos. Aquí es imperfecto en un aspecto importante. Si imagina que estamos trazando las estrellas con un movimiento circular en la mano, lo cual es natural, entonces distorsionaremos el mapa. El ángulo de la pluma de luz en la mano mientras hacíamos un movimiento circular se proyectaría a gran distancia. Ese mapa sería interesante por otras razones, pero estamos tratando de identificar solo las áreas que están en línea con nosotros, las estrellas en las que estamos "debajo". Queremos que el tamaño real de la estrella esté en el mapa, no un tamaño relativo a la distancia entre nosotros y él.

Para mantenernos fieles, tendremos que imaginar que nuestro mapa simplemente tiene un círculo cuyo centro está en línea con nosotros y la estrella que representa. El tamaño del círculo de la estrella es su tamaño real. Nuestro sol tiene aproximadamente 1,39 millones de kilómetros de diámetro, por lo que el círculo que dibuja tendría este diámetro en nuestro mapa. Esta es el área de puntos que, independientemente de la distancia, llevaría una línea entre ellos y nosotros para hacer que un candidato para una estrella esté "arriba".

La respuesta a si al menos una estrella está probablemente en lo alto en un momento dado es, en una forma de pensar, la proporción de rojo y verde en el mapa. ¿Cuánto de todo el mapa es verde? Eso es aproximadamente la probabilidad de que estemos en línea con una estrella en cualquier momento.

Si queremos seguir en esta línea de probabilidad, este sería el momento de obtener el tamaño promedio de cada estrella observable, calcular un diámetro promedio, multiplicarlo por el número de estrellas y tener un área estimada. Esto será totalmente descabellado porque hemos aplanado tres o cuatro dimensiones en dos y no hemos tenido en cuenta la superposición. Lamentablemente, la superposición de los gastos generales no parece ser coherente. Tenga en cuenta que al mirar hacia el cielo nocturno podemos ver la Vía Láctea, de la que somos parte.

Además, para obtener esos promedios, habría que haber indexado a fondo el Universo observable. Mucha gente ha estado trabajando en eso durante mucho tiempo, pero es muy grande. Entonces, si tuviéramos suficientes datos para tener promedios razonablemente buenos para cosas como el tamaño de una estrella, también podríamos olvidar los promedios y hacer el mapa real. También nos ocuparíamos de círculos superpuestos de esa manera. Mientras estamos en eso, olvida el mapa por completo. Simplemente haga que el GPS en su teléfono alimente su posición en el mundo en un modelo que trazará la línea y verificará todo lo que se encuentra sobre usted. Es el verdadero problema con el que comenzamos, solo teniendo en cuenta que la inmensidad del cosmos es tan abrumadoramente grande que el cálculo requerido para verificar lo que está arriba puede tener un radio más corto que el radio del universo observable.

También leí recientemente que el universo podría ser (estas son conjeturas y argumentos) al menos 250 veces más grande de lo que podemos observar. También he leído que la tierra es plana. Tal vez el universo continúa infinitamente. Razonar sobre eso tendrá condiciones límite similares.

Su mejor opción es alimentar su ubicación en un modelo y limitar el modelo para que pueda obtener un cálculo razonablemente rápido. Cambie la pregunta a: "¿Cuál es la estrella más cercana en esta línea, dado un límite espacial y computacional?" Tendrá que aceptar que en algún lugar más allá de lo que se puede calcular, incluso más allá de lo que se puede ver, todavía puede haber una estrella .

Según Olbers, de la paradoja de la fama, si el universo es infinito, una línea de visión en cualquier dirección debería llegar a una estrella. ¿Por qué entonces el cielo nocturno estaba tan oscuro cuando en teoría debería ser tan brillante como el día? Dejando a un lado esa pregunta en particular, no tenemos pruebas de que el universo sea infinito, pero es lo suficientemente grande como para que una línea en cualquier dirección tarde o temprano alcance la superficie de una estrella. Si la línea en cuestión tendría que viajar solo decenas de años luz para alcanzar la estrella o muchos miles de millones depende de dónde se encuentre y en qué momento particular elija trazar la línea. Si se encontraba en el ecuador en el momento correcto del año y en el momento adecuado del día, la línea podría tener que viajar un poco más de ocho minutos luz para llegar a una estrella. En el universo, a diferencia del papel,