¿Qué pasa si las probabilidades no son iguales en la "Regla .632"?

Esta pregunta se deriva de esta sobre la "Regla .632". Estoy escribiendo con referencia particular a la respuesta / notación de user603 en la medida en que simplifica las cosas.

Esa respuesta comienza con una muestra de tamaño con sustitución, de n elementos distintos en la colección (llamada) que N. La probabilidad de que la i t h muestra es i es diferente de un elemento en particular m de N es entonces ( 1 - 1 / n ) $n,$$n$$i^{th}$$s_i$$m$$(1 - 1/n).$

En esa respuesta, todos los elementos de N tienen la misma probabilidad de ser dibujados al azar.

Mi pregunta es la siguiente: supongamos, en cambio, que en la pregunta anterior, los elementos a dibujar son tales que normalmente se distribuyen. Es decir, subdividimos la curva normal estándar de $Z = -4$ a $Z = 4$ en (digamos) 100 subintervalos de igual longitud. Cada uno de los 100 elementos en N tiene una probabilidad de ser dibujada que es igual al área subtendida por la curva en su intervalo respectivo.

Mi pensamiento fue el siguiente:

El razonamiento es similar al de la respuesta vinculada, creo. La probabilidad de que $s_i \ne m$ , con $m$ un elemento de N, es $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ en la que $F_i$ es la probabilidad de sacar $s_i.$

La probabilidad de que un elemento particular m esté en la muestra S de tamaño n es

= 1 - n ∏ 1 ( 1 - F i )

$$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$$ $$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$$

Un cálculo parece mostrar que a medida que la longitud de los subintervalos se reduce, la respuesta converge al mismo número que en el primer caso (las probabilidades de todas iguales).$s_i$

Esto parece contradictorio (para mí) porque la construcción parece incluir elementos de N que son raros, por lo que esperaría un número menor que .632.

Además, si esto es correcto, supongo que tendríamos

$$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$$

que todavía no sé si es verdadero o falso.

Editar: si es cierto, probablemente generalizaría algunos.

Gracias por cualquier idea.

La pregunta se refiere al comportamiento limitante de

$$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$$

a medida que crece y el contrae uniformemente de tal manera que (a) todos son no negativos y (b) suman la unidad. (Estos se derivan de la construcción de y los axiomas de probabilidad).$n$$F_i$ $F_i$

Por definición, este producto es el exponencial de su logaritmo:

$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$$

El teorema de Taylor (con la forma Lagrange del resto) , aplicado a , establece que$\log$

$$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$$

para algunos en el intervalo . En otras palabras, estos logaritmos equivalen a hasta términos que son a lo sumo veces . Pero cuando es lo suficientemente grande como para asegurar que todos los son más pequeños que algunos dados (una condición asegurada por la contracción uniforme de ), entonces (b) implica y por lo tanto$\phi_i$$[0, F_i]$ 1 / 2 F 2 i n F i ε > 0 F i n ε > Σ F i = $-F_i$ $1/2$$F_i^2$$n$$F_i$$\epsilon\gt 0$$F_i$$n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

$$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$$

Por consiguiente

$$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$$

exprime el logaritmo entre dos secuencias que convergen en . Como es continuo, el producto converge al exponencial de este límite, . Por consiguiente$-1$$\exp$$\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$$\exp(-1)$

$$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$$

QED .

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Una mirada más cercana a este análisis establece que el error en esta aproximación (que siempre será un límite inferior ) no es mayor en tamaño que Por ejemplo, la división de una distribución Normal estándar en cortes entre y produce un máximo cerca del modo , donde será aproximadamente igual al área de un rectángulo allí, . El límite anterior establece que el valor de la fórmula estará dentro de de su valor límite. El error real es un orden de magnitud menor,n=400-44 F i 0exp(-1 / 2) / 50≈0,012(1)0,0110,001041 f i

$$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$$ $n=400$$-4$$4$$F_i$$0$$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$$(1)$$0.011$$0.001041$ . Aquí está el cálculo en R( en el que podemos confiar porque ninguno de los es realmente pequeño en relación con ):$f_i$$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

De hecho, 1 - prod(1-f)es mientras que es .1 - exp ( - 1 ) 0.6321206 $0.6331615\ldots$$1-\exp(-1)$$0.6321206\ldots$