¿Cómo blanquear los datos usando el análisis de componentes principales?

Quiero transformar mis datos modo que las variaciones sean una y las covarianzas sean cero (es decir, quiero blanquear los datos). Además, los medios deben ser cero.$\mathbf X$

Sé que llegaré allí haciendo la estandarización Z y la transformación PCA, pero ¿en qué orden debo hacerlo?

Debo agregar que la transformación de blanqueamiento compuesta debe tener la forma .$\mathbf{x} \mapsto W\mathbf{x} + \mathbf{b}$

¿Existe un método similar a PCA que hace exactamente ambas transformaciones y me da una fórmula del formulario anterior?

Primero, obtienes la media cero restando la media $\boldsymbol \mu = \frac{1}{N}\sum \mathbf{x}$ .

En segundo lugar, obtienes las covarianzas cero al hacer PCA. Si es la matriz de covarianza de sus datos, entonces PCA equivale a realizar una descomposición propia , donde es una matriz de rotación ortogonal compuesta de vectores propios de y es una matriz diagonal con valores propios en la diagonal. Matrix proporciona una rotación necesaria para descorrelacionar los datos (es decir, asigna las características originales a los componentes principales).$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Sigma = \mathbf{U} \boldsymbol \Lambda \mathbf{U}^\top$$\mathbf{U}$$\boldsymbol \Sigma$$\boldsymbol \Lambda$$\mathbf{U}^\top$

Tercero, después de la rotación, cada componente tendrá una variación dada por un valor propio correspondiente. Entonces, para hacer variaciones iguales a , debe dividir por la raíz cuadrada de .$1$$\boldsymbol \Lambda$

En conjunto, la transformación de blanqueamiento es . Puede abrir los corchetes para obtener el formulario que está buscando.$\mathbf{x} \mapsto \boldsymbol \Lambda^{-1/2} \mathbf{U}^\top (\mathbf{x} - \boldsymbol \mu)$

Actualizar. Consulte también este hilo posterior para obtener más detalles: ¿Cuál es la diferencia entre el blanqueamiento ZCA y el blanqueamiento PCA?