Comprobando si dos muestras de Poisson tienen la misma media

Esta es una pregunta elemental, pero no pude encontrar la respuesta. Tengo dos mediciones: n1 eventos en el tiempo t1 y n2 eventos en el tiempo t2, ambos producidos (por ejemplo) por procesos de Poisson con valores lambda posiblemente diferentes.

Esto es en realidad de un artículo de noticias, que esencialmente afirma que desde que los dos son diferentes, pero no estoy seguro de que el reclamo sea válido. Suponga que los períodos de tiempo no se eligieron maliciosamente (para maximizar los eventos en uno u otro).$n_1/t_1\neq n_2/t_2$

¿Puedo hacer una prueba t o eso no sería apropiado? El número de eventos es demasiado pequeño para que pueda llamar cómodamente a las distribuciones aproximadamente normales.

Para probar la media de Poisson, el método condicional fue propuesto por Przyborowski y Wilenski (1940). La distribución condicional de X1 dada X1 + X2 sigue una distribución binomial cuya probabilidad de éxito es una función de la razón dos lambda. Por lo tanto, las pruebas de hipótesis y los procedimientos de estimación de intervalos se pueden desarrollar fácilmente a partir de los métodos exactos para hacer inferencias sobre la probabilidad de éxito binomial. Por lo general, se consideran dos métodos para este propósito,

1. Prueba C
2. E-test

Puede encontrar los detalles sobre estas dos pruebas en este documento. Una prueba más poderosa para comparar dos medias de Poisson

Qué tal si:

poisson.test(c(n1, n2), c(t1, t2), alternative = c("two.sided"))

Esta es una prueba que compara las tasas de Poisson de 1 y 2 entre sí, y proporciona un valor p y un intervalo de confianza del 95%.

Estás buscando un control rápido y fácil.

$\lambda$$t = t_1+t_2$$[0, t_1]$$n_1$$[t_1, t_1+t_2]$$n_2$

$n_i$$t_i\hat{\lambda}$$n_i$

Me interesaría más un intervalo de confianza que un valor p, aquí hay una aproximación de arranque.

Calculando las longitudes de los intervalos primero, y un cheque:

Lrec = as.numeric(as.Date("2010-07-01") - as.Date("2007-12-02")) # Length of recession
Lnrec = as.numeric(as.Date("2007-12-01") - as.Date("2001-12-01")) # L of non rec period
(43/Lrec)/(50/Lnrec)

[1] 2.000276

Esta verificación da un resultado ligeramente diferente (aumento del 100.03%) que el de la publicación (aumento del 101%). Continúa con el bootstrap (hazlo dos veces):

N = 100000
k=(rpois(N, 43)/Lrec)/(rpois(N, 50)/Lnrec)
c(quantile(k, c(0.025, .25, .5, .75, .975)), mean=mean(k), sd=sd(k))

     2.5%       25%       50%       75%     97.5%      mean        sd 
1.3130094 1.7338545 1.9994599 2.2871373 3.0187243 2.0415132 0.4355660 

     2.5%       25%       50%       75%     97.5%      mean        sd 
1.3130094 1.7351970 2.0013578 2.3259023 3.0173868 2.0440240 0.4349706 

El intervalo de confianza del 95% del aumento es del 31% al 202%.