¿Cuál es la probabilidad de que una casa de apuestas tenga un precio incorrecto en los partidos de fútbol?

Un equipo de fútbol inglés juega una serie de partidos contra diferentes oponentes de diferentes habilidades. Una casa de apuestas ofrece probabilidades para cada partido en cuanto a si será una victoria en casa, una victoria fuera o un empate. A mitad de la temporada, el equipo ha jugado partidos y ha sacado de ellos, que es más de lo que podría esperarse de las probabilidades.$n$$k$

¿Cuál es la probabilidad de que la casa de apuestas esté asignando un precio incorrecto a las probabilidades en estos partidos, en lugar de simplemente tener mala suerte? Si la casa de apuestas continúa valorando los partidos restantes del equipo de una manera similar, y apuesto que cada uno será un empate, ¿cuál es mi rendimiento esperado?$\$1$

La respuesta a su pregunta depende intrincadamente de qué información y suposiciones va a utilizar. Esto se debe a que el resultado de un juego es un proceso extraordinariamente complicado. Puede volverse arbitrariamente complicado según la información que tenga sobre:

1. Jugadores en un equipo en particular, tal vez incluso combinaciones particulares de jugadores pueden ser relevantes.
2. Jugadores en otros equipos
3. Historia pasada de la liga
4. Qué tan estables son los jugadores del equipo: ¿los jugadores siguen siendo seleccionados y eliminados, o es lo mismo 11?
5. El momento en que realiza su apuesta (durante el juego, antes, cuánto antes, ¿qué información se pierde de apostar antes a apostar el día?)
6. alguna otra característica relevante del fútbol que he omitido.

Las probabilidades que da un corredor de apuestas no son un reflejo de las probabilidades de los corredores de apuestas. lo cual es imposible si son probabilidades. Un corredor de apuestas reducirá las probabilidades cuando alguien apuesta en un empate, y las ajustará cuando alguien apueste en un no empate. Por lo tanto, las probabilidades son un reflejo de las probabilidades de los jugadores (que usan ese marcador) en su conjunto. Por lo tanto, no es el corredor de apuestas el que pierde los precios per se, es el colectivo de apuestas, o el "jugador promedio".

Ahora, si está dispuesto a suponer que cualquier "mecanismo causal" que resulte en un empate se mantiene constante durante toda la temporada (¿razonable? Probablemente no ...), entonces se obtiene un problema matemático simple (pero tenga en cuenta que no hay razón para que esto ocurra). ser "más correcto" que algún otro supuesto simplificador). Para recordarnos que esta es la suposición utilizada, se colocará una en el lado condicionante de las probabilidades. Bajo este supuesto, se aplica la distribución binomial:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

Y queremos calcular lo siguiente

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

donde

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

es la posterior para . Ahora, en este caso, es bastante obvio que es posible que ocurra un empate, y también es posible que no suceda, por lo que es apropiado un uniforme previo (a menos que haya información adicional que deseamos incluir más allá de los resultados de la temporada) ) y establecemos . La parte posterior está dada por una distribución beta (donde es la función beta )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Dado y la probabilidad de que la próxima coincidencia sea un empate es solo por lo que la integral se convierte en:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

y por lo tanto la probabilidad es solo:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Pero tenga en cuenta que depende de , los supuestos que se hicieron. Llame a las "probabilidades", con los precios de una probabilidad condicional de alguna otra información compleja desconocida, digamos . Entonces, si las probabilidades publicadas son diferentes a la fracción anterior, entonces esto dice que y conducen a conclusiones diferentes, por lo que ambos no pueden estar en lo cierto sobre el "resultado verdadero" (pero ambos pueden estar condicionados a las suposiciones hechas cada uno) )$A$$B$$A$$B$

El Golpe Asesino

Este ejemplo mostró que la respuesta a su pregunta se reducía a decidir si era "más preciso" que al describir la mecánica del juego de fútbol. Esto sucederá independientemente de lo que la proposición pasa a ser . Siempre nos reduciremos a la pregunta de "¿qué suposiciones son correctas, las del juego colectivo o las mías?" Esta última pregunta es básicamente una pregunta sin respuesta hasta que sepa exactamente en qué consiste la proposición (o al menos algunas características clave de la misma). ¿Cómo puedes comparar algo que se sabe con algo que no se sabe?$A$$B$ $A$ $B$

ACTUALIZACIÓN: Una respuesta real :)

Como @whuber ha señalado descaradamente, en realidad no he dado un valor esperado aquí, por lo que esta parte simplemente completa esa parte de mi respuesta. Si uno asumiera que es cierto con probabilidades de precio de , entonces esperaría, en el próximo juego, recibir $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Ahora, si supone que el valor de se basa en el mismo modelo que el suyo, podemos predecir exactamente cómo cambiará en el futuro. Supongamos que se basó en una diferente antes de la uniforme, digamos , entonces la probabilidad correspondiente es$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

con el retorno esperado de

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Ahora, si hacemos el "peso previo" donde es la duración de la temporada (esto permitirá que la "fijación de precios" continúe durante el resto de la temporada) y establecer el retorno esperado a cero obtenemos:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(NOTA: a menos que este sea el modelo real, dependerá de cuándo se realizó este cálculo, ya que depende de que variará con el tiempo). Ahora podemos predecir cómo se ajustará en el futuro, agregará al denominador para cada coincidencia y al numerador si la coincidencia fue un empate. Entonces, las probabilidades esperadas después del primer partido son:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

Es decir, las probabilidades no cambiarán mucho durante la temporada. Usando esta aproximación, obtenemos el rendimiento esperado durante el resto de la temporada como:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Pero recuerde que esto se basa en el modelo excesivamente simplista de un sorteo (nota: esto no significa necesariamente que será un predictor de "basura"). No puede haber una respuesta única a su pregunta, porque no ha habido un modelo específico ni información previa específica (por ejemplo, ¿cuántas personas usan esta casa de apuestas? Lo único que se ha especificado son los datos de una temporada, y que para "algún modelo no especificado" las probabilidades son inconsistentes con las implicadas por el precio de las cuotas.

Las casas de apuestas usan un overround para que no les importe cuál es el resultado porque ganan lo que sea. Es por eso que nunca conoces a un corredor de apuestas pobre. Si un corredor de apuestas tiene un precio incorrecto, su capacidad de obtener ganancias dependerá de las probabilidades que ofrezca la casa de apuestas y de si las ganancias generadas cubrirían las veces que pierde.