¿Cuál es la distribución de la distancia euclidiana entre dos variables aleatorias normalmente distribuidas?

Suponga que se le dan dos objetos cuyas ubicaciones exactas se desconocen, pero se distribuyen de acuerdo con distribuciones normales con parámetros conocidos (por ejemplo, y b ∼ N ( v , t ) ) . Podemos suponer estos son ambos normales bivariantes, de manera que las posiciones se describen mediante una distribución de más de ( x , Y ) de coordenadas (es decir, m y v son vectores que contienen las esperadas ( x , y ) coordenadas para $a \sim N(m, s)$$b \sim N(v, t))$$(x,y)$$m$$v$$(x,y)$$a$y $b$ respectivamente). También asumiremos que los objetos son independientes.

¿Alguien sabe si la distribución de la distancia euclidiana al cuadrado entre estos dos objetos es una distribución paramétrica conocida? ¿O cómo derivar el PDF / CDF para esta función analíticamente?

La respuesta a esta pregunta se puede encontrar en el libro Formas cuadráticas en variables aleatorias de Mathai y Provost (1992, Marcel Dekker, Inc.).

Como aclaran los comentarios, necesita encontrar la distribución de donde z = a - b sigue una distribución normal bivariada con media μ y matriz de covarianza Σ . Esta es una forma cuadrática en la variable aleatoria bivariada z .$Q = z_1^2 + z_2^2$$z = a - b$$\mu$$\Sigma$$z$

Brevemente, un buen resultado general para el caso -dimensional donde z ∼ N p ( μ , Σ ) y Q = p ∑ j = 1 z 2 j es que la función generadora de momento es E ( e t Q ) = e t ∑ p j = 1 b 2 j λ $p$$z \sim N_p(\mu, \Sigma)$

$$Q = \sum_{j=1}^p z_j^2$$ , dondeλ1,...,λpson los valores propios deΣybes una función lineal deμ. Consulte el Teorema 3.2a.2 (página 42) en el libro citado anteriormente (asumimos aquí queΣno es singular). Otra representación útil es 3.1a.1 (página 29) Q=p∑j= $$E(e^{tQ}) = e^{t \sum_{j=1}^p \frac{b_j^2 \lambda_j}{1-2t\lambda_j}}\prod_{j=1}^p (1-2t\lambda_j)^{-1/2}$$ $\lambda_1, \ldots, \lambda_p$$\Sigma$$b$$\mu$$\Sigma$ donde u 1 , ... , u p son iid N ( 0 , 1 ) . $$Q = \sum_{j=1}^p \lambda_j(u_j + b_j)^2$$ $u_1, \ldots, u_p$$N(0, 1)$

Todo el Capítulo 4 del libro está dedicado a la representación y el cálculo de las densidades y las funciones de distribución, lo cual no es para nada trivial. Solo estoy familiarizado superficialmente con el libro, pero mi impresión es que todas las representaciones generales están en términos de expansiones de series infinitas.

$\lambda_1, \lambda_2 > 0$$b_1, b_2 \in \mathbb{R}$

$a$$b$$a-b$

$\mu_d = \mu_1 - \mu_2$$\Sigma_d = \Sigma_1 + \Sigma_2$ $\Sigma_d = \mathrm{J} \Sigma_{12} \mathrm{J}^T$$\Sigma_{12} = \begin{bmatrix} \Sigma_1 & \\ & \Sigma_2 \end{bmatrix}$$\mathrm{J} = \begin{bmatrix} +\mathrm{I}, & -\mathrm{I} \end{bmatrix}$

En segundo lugar, busque la distribución de la longitud del vector de diferencia, o la distancia radial desde el origen, que se distribuye Hoyt :

El radio alrededor de la media verdadera en una variable aleatoria normal correlacionada bivariada con variaciones desiguales, reescrita en coordenadas polares (radio y ángulo), sigue una distribución de Hoyt. El pdf y el cdf se definen en forma cerrada, la búsqueda de raíz numérica se usa para encontrar cdf ^ −1. Se reduce a la distribución de Rayleigh si la correlación es 0 y las varianzas son iguales.

Una distribución más general surge si permite una diferencia sesgada (origen desplazado), de Ballistipedia :

¿Por qué no probarlo?

set.seed(347)
x <- rnorm(10000)
y <- rnorm(10000)
x2 <- rnorm(10000)
y2 <- rnorm(10000)

qdf <- data.frame(x,y,x2,y2)
qdf <- data.frame(qdf,(x-x2)^2+(y-y2)^2)
colnames(qdf)[5] <- "euclid" 

plot(c(x,y),c(x2,y2))
plot(qdf$euclid)
hist(qdf$euclid) 
plot(dentist(qdf$euclid))