¿Qué se llama exactamente "componente principal" en PCA?

Supongamos que es el vector que maximiza la varianza de la proyección de los datos con matriz de diseño .$u$$X$

Ahora, he visto materiales que se refieren a como el (primer) componente principal de los datos, que también es el vector propio con mayor valor propio.$u$

Sin embargo, también he visto que el componente principal de los datos es .$X u$

Obviamente, y son cosas diferentes. ¿Alguien puede ayudarme aquí y decirme cuál es la diferencia entre estas dos definiciones de componentes principales?$u$$Xu$

Tiene toda la razón al observar que aunque (uno de los vectores propios de la matriz de covarianza, por ejemplo, el primero) y X u (proyección de los datos en el subespacio unidimensional atravesado por u ) son dos cosas diferentes, ambas de a menudo se les llama "componente principal", a veces incluso en el mismo texto.$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$$\mathbf{u}$

$\mathbf{u}_i$

$\mathbf{u}$$\mathbf{X}\mathbf{u}$

$\mathbf u$

$\mathbf u$$\mathbf{Xu}$

Resumen de las dos convenciones:

$$\begin{array}{c|c|c} & \text{Convention 1} & \text{Convention 2} \\ \hline \mathbf u & \begin{cases}\text{principal axis}\\ \text{principal direction}\\ \text{principal component vector}\end{cases} & \text{principal component} \\ \mathbf{Xu} & \text{principal component} & \text{principal component scores} \end{array}$$

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Nota: Solo los vectores propios de la matriz de covarianza correspondientes a valores propios distintos de cero se pueden llamar direcciones / componentes principales. Si la matriz de covarianza es de rango bajo, tendrá uno o más valores propios cero; los vectores propios correspondientes (y las proyecciones correspondientes que son constantes cero) no deben llamarse direcciones / componentes principales. Vea alguna discusión en mi respuesta aquí.