¿La regresión de Cox tiene una distribución de Poisson subyacente?

Nuestro pequeño equipo estaba discutiendo y se atascó. ¿Alguien sabe si la regresión de Cox tiene una distribución de Poisson subyacente? Tuvimos un debate de que tal vez la regresión de Cox con tiempo constante en riesgo tendrá similitudes con la regresión de Poisson con una varianza robusta. ¿Algunas ideas?

Sí, hay un vínculo entre estos dos modelos de regresión. Aquí hay una ilustración:

Suponga que el peligro de la línea de base es constante en el tiempo: . En ese caso, la función de supervivencia es$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

y la función de densidad es

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Este es el pdf de una variable aleatoria exponencial con expectativa .$\lambda^{-1}$

Dicha configuración produce el siguiente modelo paramétrico de Cox (con notaciones obvias):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

En la configuración paramétrica, los parámetros se estiman utilizando el método clásico de probabilidad. El log-verosimilitud viene dado por

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

donde es el indicador de evento.$d_{i}$

Hasta una constante aditiva, esto no es más que la misma expresión que la probabilidad logarítmica de los 'vistos como realizaciones de una variable de Poisson con media . μ i = t i h i ( t $d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Como consecuencia, se pueden obtener estimaciones utilizando el siguiente modelo de Poisson:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

donde .$\beta_0 = \log(\lambda)$