Lanzar un modelo lineal multivariado como una regresión múltiple

¿La refundición de un modelo de regresión lineal multivariante como una regresión lineal múltiple es completamente equivalente? No me refiero a simplemente ejecutar regresiones separadas.$t$

He leído esto en algunos lugares (Bayesian Data Analysis - Gelman et al., Y Multivariate Old School - Marden) de que un modelo lineal multivariado se puede volver a parametrizar fácilmente como regresión múltiple. Sin embargo, ninguna fuente elabora esto en absoluto. Esencialmente solo lo mencionan, luego continúan usando el modelo multivariante. Matemáticamente, primero escribiré la versión multivariante,

YXR

$$\underset{n \times t}{\mathbf{Y}} = \underset{n \times k}{\mathbf{X}} \hspace{2mm}\underset{k \times t}{\mathbf{B}} + \underset{n \times t}{\mathbf{R}},$$ donde las variables en negrita son matrices con sus tamaños debajo de ellas. Como de costumbre, son datos, es la matriz de diseño, son residuos distribuidos normalmente y es con lo que estamos interesados ​​en hacer inferencias.$\mathbf{Y}$$\mathbf{X}$$\mathbf{R}$$\mathbf{B}$

Para volver a parametrizar esto como la familiar regresión lineal múltiple, uno simplemente reescribe las variables como:

$$\underset{nt \times 1}{\mathbf{y}} = \underset{nt \times nk}{\mathbf{D}} \hspace{2mm} \underset{nk \times 1}{\boldsymbol{\beta}} + \underset{nt \times 1}{\mathbf{r}},$$

donde las reparametrizaciones utilizadas son $\mathbf{y} = row(\mathbf{Y})$ , $\boldsymbol\beta = row(\mathbf{B})$ y $\mathbf{D} = \mathbf{X} \otimes \mathbf{I}_{n}$ . $row()$ significa que las filas de la matriz están dispuestas de extremo a extremo en un vector largo, y $\otimes$ es el producto kronecker o externo.

Entonces, si esto es tan fácil, ¿por qué molestarse en escribir libros sobre modelos multivariados, probar estadísticas para ellos, etc.? Es más efectivo simplemente transformar las variables primero y usar técnicas univariadas comunes. Estoy seguro de que hay una buena razón, solo estoy teniendo dificultades para pensar en una, al menos en el caso de un modelo lineal. ¿Existen situaciones con el modelo lineal multivariado y errores aleatorios normalmente distribuidos en los que esta reparametrización no se aplica o limita las posibilidades del análisis que puede realizar?

Fuentes He visto esto: Marden - Estadísticas multivariantes: Old School. Ver secciones 5.3 - 5.5. El libro está disponible gratis en: http://istics.net/stat/

Gelman y col. - Análisis de datos bayesianos. Tengo la segunda edición, y en esta versión hay un pequeño párrafo en el cap. 19 'Modelos de regresión multivariante' titulado: "El modelo de regresión univariante equivalente"

Básicamente, ¿puede hacer todo con el modelo de regresión univariante lineal equivalente que podría hacer con el modelo multivariado? Si es así, ¿por qué desarrollar métodos para modelos lineales multivariados?

¿Qué pasa con los enfoques bayesianos?

Básicamente, ¿puede hacer todo con el modelo de regresión univariante lineal equivalente que podría hacer con el modelo multivariado?

Creo que la respuesta es no.

Si su objetivo es simplemente estimar los efectos (parámetros en ) o hacer más predicciones basadas en el modelo, entonces sí, no importa adoptar la formulación del modelo entre los dos.$\mathbf{B}$

Sin embargo, para hacer inferencias estadísticas, especialmente para realizar la prueba de significación clásica, la formulación multivariada parece prácticamente insustituible. Más específicamente, permítanme usar el típico análisis de datos en psicología como ejemplo. Los datos de sujetos se expresan como$n$

$$\underset{n \times t}{\mathbf{Y}} = \underset{n \times k}{\mathbf{X}} \hspace{2mm}\underset{k \times t}{\mathbf{B}} + \underset{n \times t}{\mathbf{R}},$$

donde el variables explicativas (factor o / y covariables cuantitativos) entre sujetos se codifican como las columnas de , mientras que el de medidas repetidas (o dentro de la materia) los niveles de factor se representan como variables simultáneas o la columnas en .X t $k-1$$\mathbf{X}$$t$$\mathbf{Y}$

Con la formulación anterior, cualquier hipótesis lineal general se puede expresar fácilmente como

$$\mathbf{L} \mathbf{B} \mathbf{M} = \mathbf{C},$$

donde se compone de los pesos entre las variables explicativas entre sujetos mientras que contiene los pesos entre los niveles de los factores de medidas repetidas, y es una matriz constante, generalmente .L C $\mathbf{L}$$\mathbf{L}$$\mathbf{C}$$\mathbf{0}$

La belleza del sistema multivariante radica en su separación entre los dos tipos de variables, entre y dentro del sujeto. Es esta separación la que permite la formulación fácil de tres tipos de pruebas de significación en el marco multivariante: la prueba multivariada clásica, la prueba multivariada de medidas repetidas y la prueba univariada de medidas repetidas. Además, las pruebas de Mauchly para la violación de la esfericidad y los métodos de corrección correspondientes (Greenhouse-Geisser y Huynh-Feldt) también se vuelven naturales para las pruebas univariadas en el sistema multivariado. Así es exactamente cómo los paquetes estadísticos implementaron esas pruebas, como el automóvil en R, GLM en IBM SPSS Statistics y la declaración REPETIDA en PROC GLM de SAS.

No estoy tan seguro de si la formulación importa en el análisis de datos bayesianos, pero dudo que la capacidad de prueba anterior pueda formularse e implementarse bajo la plataforma univariante.

Ambos modelos son equivalentes si se ajusta a la estructura de varianza-covarianza adecuada. En el modelo lineal transformado necesitamos ajustar la matriz de varianza-covarianza del componente de error con el producto kronecker que tiene disponibilidad limitada en los softwares informáticos disponibles. La teoría de modelos lineales: modelos univariados, multivariados y mixtos es una excelente referencia para este tema.

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Aquí hay otra buena referencia disponible gratuitamente.