¿Cómo se muestra que no hay un estimador imparcial de para una distribución de Poisson con media ?

Suponga que son variables aleatorias iid que siguen la distribución de Poisson con media . ¿Cómo puedo probar que no hay un estimador imparcial de la cantidad ? $X_{0},X_{1},\ldots,X_{n}$ $\lambda$ $\dfrac{1}{\lambda}$

probability poisson-distribution unbiased-estimator estimators iid billlee1231
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Supongo que quieres decir, "lambda?" De todos modos, esto no es apropiado para MO.

¿Es esto por algún tema? Parece un ejercicio de libro de texto bastante estándar. Verifique la self-studyetiqueta y la información de wiki de la etiqueta y agregue la etiqueta (o indique cómo puede surgir tal pregunta). Tenga en cuenta que dichas preguntas, aunque son bienvenidas, le imponen algunos requisitos (y restricciones a nosotros). Que has intentado

Glen_b -Reinstala a Mónica el

Debería poder utilizar un argumento similar al que se encuentra aquí .

Glen_b -Reinstala a Monica el

Respuestas:

Suponga que es un estimador imparcial de , es decir, Luego multiplica por e invoca la serie MacLaurin de podemos escribir la igualdad como $g(X_0, \ldots, X_n)$ $1/\lambda$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} g (x_{0}, \dots, x_{n}) \frac{λ^{\sum_{i = 0}^{n} x_{i}}}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} e^{- (n + 1) λ} = \frac{1}{λ}, \forall λ > 0.

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} g(x_0, \ldots, x_n) \frac{\lambda^{\sum_{i=0}^n x_i}}{\prod_{i=0}^n x_i!} e^{-(n + 1) \lambda} = \frac{1}{\lambda}, \quad \forall \lambda > 0.$

λ e^{(n + 1) λ}

$\lambda e^{(n + 1) \lambda}$

e^{(n + 1) λ}

$e^{(n + 1) \lambda}$

\sum_{(x_{0}, \dots, x_{n}) \in N_{0}^{n + 1}} \frac{g (x_{0}, \dots, x_{n})}{\prod_{i = 0}^{n} x_{i}!} λ^{1 + \sum_{i = 0}^{n} x_{i}} = 1 + (n + 1) λ + \frac{(n + 1)^{2} λ^{2}}{2} + \dots, \forall λ > 0,

$\sum_{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb{N}_0^{n+1}} \frac{g(x_0, \ldots, x_n)}{\prod_{i=0}^n x_i!} \lambda^{1 + \sum_{i=0}^n x_i} = 1 + (n + 1)\lambda + \frac{(n + 1)^2 \lambda^2}{2} + \ldots , \quad \forall \lambda > 0,$ donde tenemos una igualdad de dos series de potencias de las cuales una tiene un término constante (el lado derecho) y el otro no: una contradicción. Por lo tanto, no existe un estimador imparcial.

J. Virta
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