¿Estadísticas no son matemáticas?

¿Las estadísticas son matemáticas o no?

Dado que son todos números, en su mayoría enseñados por departamentos de matemáticas y obtienes créditos de matemáticas por eso, me pregunto si las personas simplemente lo dicen en broma cuando lo dicen, como decir que es una parte menor de las matemáticas, o simplemente matemáticas aplicadas.

Me pregunto si algo como las estadísticas, donde no se puede construir todo sobre axiomas básicos, puede considerarse matemática. Por ejemplo, el valor , que es un concepto que surgió para dar sentido a los datos, pero no es una consecuencia lógica de principios más básicos.$p$

La matemática se ocupa de abstracciones idealizadas que (casi siempre) tienen soluciones absolutas, o el hecho de que no exista tal solución generalmente puede describirse completamente. Es la ciencia de descubrir consecuencias complejas pero necesarias a partir de axiomas simples.

Las estadísticas usan matemáticas, pero no son matemáticas. Es una conjetura educada. Es un juego de azar.

Las estadísticas no se ocupan de abstracciones idealizadas (aunque sí usan algunas como herramientas), se ocupan de fenómenos del mundo real. Las herramientas estadísticas a menudo hacen suposiciones simplificadoras para reducir los desordenados datos del mundo real a algo que se ajuste al dominio del problema de una abstracción matemática resuelta. Esto nos permite hacer conjeturas informadas, pero eso es realmente todo lo que las estadísticas son: el arte de hacer conjeturas muy bien informadas.

Considere la prueba de hipótesis con valores p. Digamos que estamos probando algunas hipótesis con significancia , y después de recopilar datos encontramos un valor p de 0.001 . Entonces rechazamos la hipótesis nula a favor de una hipótesis alternativa.$\alpha = 0.01$$0.001$

Pero, ¿qué es realmente este valor p? ¿Cuál es el significado? Nuestra estadística de prueba fue desarrollada de tal manera que se ajustara a una distribución particular, probablemente la t de Student. Bajo la hipótesis nula, el percentil de nuestra estadística de prueba observada es el valor p. En otras palabras, el valor p da la probabilidad de que obtengamos un valor tan lejos de la expectativa de la distribución (o más lejos) como el estadístico de prueba observado. El nivel de significación es una regla general bastante arbitraria: establecerlo en es equivalente a decir, "es aceptable si 1 de cada 100 repeticiones de este experimento sugiere que rechacemos el nulo, incluso si el nulo es cierto. "$0.01$

El valor p nos da la probabilidad de que observemos los datos disponibles dado que el nulo es verdadero (o más bien, siendo un poco más técnico, que observamos los datos bajo la hipótesis nula que nos da al menos un valor tan extremo del estadística probada como la que encontramos). Si vamos a rechazar el valor nulo, entonces queremos que esta probabilidad sea pequeña, que se acerque a cero. En nuestro ejemplo específico, descubrimos que la probabilidad de observar los datos que reunimos si la hipótesis nula era verdadera era solo del , por lo que rechazamos el nulo. Esta fue una suposición educada. Nosotros nunca realmente sabemos con certeza que la hipótesis nula es falsa usando estos métodos, que acabamos de desarrollar una medida de la fuerza con nuestra evidencia apoya la alternativa.$0.1\%$

¿Usamos las matemáticas para calcular el valor p? Seguro. Pero las matemáticas no nos dieron nuestra conclusión. Con base en la evidencia, formamos una opinión educada, pero sigue siendo una apuesta. Hemos descubierto que estas herramientas son extremadamente efectivas en los últimos 100 años, pero las personas del futuro pueden sorprenderse con horror ante la fragilidad de nuestros métodos.

Lengua firmemente en la mejilla:

Einstein aparentemente escribió

En cuanto a que las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; y hasta donde están seguros, no se refieren a la realidad.

entonces la estadística es la rama de las matemáticas que describe la realidad. ; o)

Yo diría que la estadística es una rama de las matemáticas de la misma manera que la lógica es una rama de las matemáticas. Ciertamente incluye un elemento de filosofía, pero no creo que sea la única rama de las matemáticas donde ese es el caso (ver, por ejemplo, Morris Kline, "Matemáticas - La pérdida de certeza", Oxford University Press, 1980).

Bueno, si dices " algo así como estadísticas, donde no puedes construir todo sobre axiomas básicos ", entonces probablemente deberías leer sobre la teoría axiomática de probabilidad de Kolmogorov. Kolmogorov define la probabilidad de manera abstracta y axiomática como puede ver en este pdf en la página 42 o aquí en la parte inferior de la página 1 y en las páginas siguientes .

Solo para darle una idea de sus definiciones abstractas, define una variable aleatoria como una función 'medible' como se explica de una manera más 'intuitiva' aquí: si una variable aleatoria es una función, entonces, ¿cómo definimos una función de un variable aleatoria

Con un número muy limitado de axiomas y utilizando resultados de la teoría de la medida (nuevamente matemática), puede definir conceptos que son variables aleatorias, distribuciones, probabilidad condicional, ... de manera abstracta y derivar todos los resultados bien conocidos, como la ley de los grandes números, ... de este conjunto de axiomas. Te aconsejo que lo pruebes y te sorprenderá la belleza matemática de la misma.

Para una explicación sobre los valores p me refiero a: ¿ Malentendido un valor P?

No tengo una base rigurosa o filosófica para responder esto, pero he escuchado que la queja de "estadísticas no es matemática" a menudo proviene de personas, generalmente de tipo físico. Creo que la gente quiere garantías de certeza de sus matemáticas, y las estadísticas (generalmente) solo ofrecen conclusiones probabilísticas con valores de p asociados. En realidad, esto es exactamente lo que me encanta de las estadísticas. Vivimos en un mundo fundamentalmente incierto, y hacemos lo mejor que podemos para entenderlo. Y hacemos un gran trabajo, considerando todas las cosas.

Tal vez sea porque soy un plebe y no he tomado ningún curso matemático avanzado, pero no veo por qué la estadística no es matemática. Los argumentos aquí y sobre una pregunta duplicada parecen argumentar dos puntos principales sobre por qué las estadísticas no son matemáticas ^* .

1. No es exacto / seguro, y como tal se basa en suposiciones.
2. Aplica matemática a los problemas y cada vez que aplica matemática ya no es matemática.

No es exacto y usa suposiciones

Las suposiciones / aproximaciones son útiles para muchas matemáticas.

Creo que las propiedades de un triángulo que aprendí en la escuela primaria se consideran matemáticas verdaderas, a pesar de que no son ciertas en la geometría no elucideana. Entonces, claramente una admisión de los límites, o expresado de otra manera "suponiendo que XYZ lo siguiente es válido", a una rama de las matemáticas no descalifica a la rama de ser matemáticas "verdaderas".

Estoy seguro de que el cálculo se consideraría una forma pura de matemáticas, pero los límites son la herramienta principal sobre la que lo construimos. Podemos seguir calculando hasta el límite, del mismo modo que podemos seguir haciendo que el tamaño de la muestra sea más grande, pero ninguno de los dos ofrece mayor información más allá de cierto umbral.

Una vez que aplica las matemáticas, no son matemáticas

La contradicción obvia aquí es que usamos las matemáticas para probar teoremas matemáticos, y nadie argumenta que probar los teoremas matemáticos no es matemática.

La siguiente afirmación podría ser que thing xno son matemáticas si las usas para obtener un resultado. Eso tampoco tiene ningún sentido.

La afirmación con la que estaría de acuerdo es que cuando utiliza los resultados de un cálculo para tomar una decisión, la decisión no es matemática . Eso no significa que el análisis previo a la decisión no sea matemática .

Creo que cuando usamos el análisis estadístico, todas las matemáticas realizadas son matemáticas reales. Solo cuando entregamos los resultados a alguien para que los interprete, las estadísticas salen de las matemáticas. Como tal, las estadísticas y los estadísticos están haciendo matemáticas reales y son matemáticos reales. Es la interpretación realizada por el negocio y / o la traducción de los resultados al negocio por el estadístico lo que no es matemática.

De los comentarios:

Whuber dijo:

Si reemplazara "estadísticas" por "química", "economía", "ingeniería" o cualquier otro campo que emplee las matemáticas (como la economía doméstica), parece que ninguno de sus argumentos cambiaría.

Creo que la diferencia clave entre "química", "ingeniería" y "equilibrar mi chequera" es que esos campos solo usan conceptos matemáticos existentes . Tengo entendido que los estadísticos como Guass ampliaron el cuerpo de conceptos matemáticos. Creo ^{(esto puede ser descaradamente incorrecto)} que para obtener un doctorado en estadística, debe contribuir, de alguna manera, a expandir el cuerpo de conceptos matemáticos. Los candidatos a doctorado en Química / Ingeniería no tienen ese requisito que yo sepa.

La distinción de que la estadística contribuye al cuerpo de conceptos matemáticos es lo que lo distingue de los otros campos que simplemente usan conceptos matemáticos .

*: La notable excepción es esta respuesta que efectivamente establece que los límites son artificiales debido a varias razones sociales. Creo que esa es la única respuesta verdadera, pero ¿dónde está la diversión en eso? ;)

Las pruebas estadísticas, los modelos y las herramientas de inferencia se formulan en el lenguaje de las matemáticas, y los estadísticos han demostrado matemáticamente libros gruesos de resultados muy importantes e interesantes sobre ellos. En muchos casos, las pruebas proporcionan evidencia convincente de que las herramientas estadísticas en cuestión son confiables y / o poderosas.

Las estadísticas y su comunidad pueden no ser lo suficientemente "puras" para los matemáticos de cierto gusto, pero definitivamente se invierte en matemáticas de manera extremadamente profunda, y las estadísticas teóricas son tanto una rama de las matemáticas como la física teórica o la informática teórica.

La "diferencia" se basa en: razonamiento inductivo vs. razonamiento deductivo vs. inferencia. Por ejemplo, ningún teorema matemático puede decir qué distribución o antes puede usar para sus datos / modelo.

Por cierto, las estadísticas bayesianas son un área axiomatizada.

Esta puede ser una opinión muy impopular, pero dada la historia y la formulación de los conceptos de estadística (y teoría de la probabilidad), considero que la estadística es una rama secundaria de la física .

De hecho, Gauss inicialmente formalizó el modelo de regresión de mínimos cuadrados en las predicciones astronómicas. La mayoría de las contribuciones a las estadísticas antes de Fisher fueron de físicos (o matemáticos altamente aplicados cuyo trabajo se llamaría Física según los estándares actuales): Lyapunov, De Moivre, Gauss y uno o más de los Bernoullis.

El principio general es la caracterización de errores y la aparente aleatoriedad propagada a partir de un número infinito de fuentes de variación no medidas. A medida que los experimentos se volvieron más difíciles de controlar, los errores experimentales debían describirse formalmente y explicarse para calibrar la preponderancia de la evidencia experimental contra el modelo matemático propuesto. Más tarde, a medida que la física de partículas profundizó en la física cuántica , la formalización de partículas como distribuciones aleatorias dio un lenguaje mucho más conciso para describir la aleatoriedad aparentemente incontrolable con fotones y electrones.

Las propiedades de los estimadores, como su media (centro de masa) y la desviación estándar (segundo momento de desviaciones) son muy intuitivas para los físicos. La mayoría de los teoremas de límites se pueden conectar libremente con la ley de Murphy, es decir, que la distribución normal limitante es la entropía máxima.

Entonces, la estadística es una rama secundaria de la física.