Valor que aumenta la desviación estándar

Me sorprende la siguiente declaración:

"Para aumentar la desviación estándar de un conjunto de números, debe agregar un valor que esté a más de una desviación estándar de la media"

¿Cuál es la prueba de eso? Por supuesto, sé cómo definimos la desviación estándar, pero esa parte parece que de alguna manera me la pierdo. ¿Algún comentario?

Para cualquier número con media , la varianza viene dada por Aplicar para el conjunto dado de números que tomamos por conveniencia en la exposición para tener media , tenemos que y 1 , y 2 , ... , y N ˉ y = $N$$y_1,y_2, \ldots, y_N$ σ $\displaystyle \bar{y} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N y_i$(1)nx1,x2,…xnˉx=0σ2=

$$\begin{align} \sigma^2 &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N (y_i-\bar{y})^2\\ &= \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - 2y_i\bar{y} + \bar{y}^2\right)\\ &= \frac{1}{N-1}\left[\left(\sum_{i=1}^Ny_i^2\right) - 2N(\bar{y})^2 + N(\bar{y})^2 \right] \\ \sigma^2 &=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N \left(y_i^2 - (\bar{y})^2\right) \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$n$$x_1, x_2, \ldots x_n$$\bar{x} = 0$ xn+1 $$\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(x_i^2-(\bar{x})^2\right) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2$$ Si ahora agregamos una nueva observación a este conjunto de datos, entonces la nueva media del conjunto de datos es mientras que la nueva varianza es Entoncesnecesita ser más grande que$x_{n+1}$σ $$\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^{n+1}x_i = \frac{n\bar{x} + x_{n+1}}{n+1} = \frac{x_{n+1}}{n+1}$$ El | xn+1| σ $$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n+1} \left(x_i^2-\frac{x_{n+1}^2}{(n+1)^2}\right)\\ &= \frac{1}{n}\left[\left((n-1)\sigma^2 + x_{n+1}^2\right) - \frac{x_{n+1}^2}{n+1}\right]\\ &= \left.\left.\frac{1}{n}\right[(n-1)\sigma^2 + \frac{n}{n+1}x_{n+1}^2\right]\\ &> \sigma^2 ~ \text{only if}~ x_{n+1}^2 > \frac{n+1}{n}\sigma^2. \end{align}$$ $|x_{n+1}|$ xn+1ˉxσ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ o, más generalmente, necesita diferir de la media del conjunto de datos original en más de , para que el conjunto de datos aumentados tenga una varianza mayor que el conjunto de datos original. Véase también la respuesta de Ray Koopman, que señala que la nueva varianza es mayor, igual o menor que la varianza original según difiere de la media en más que, exactamente o menos que .$x_{n+1}$$\bar{x}$ xn+1σ$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$x_{n+1}$$\displaystyle\sigma\sqrt{1+\frac{1}{n}}$

La declaración desconcertante proporciona una condición necesaria pero insuficiente para que aumente la desviación estándar. Si el tamaño de la muestra anterior es , la media anterior es , la desviación estándar anterior es , y se agrega un nuevo punto a los datos, entonces la nueva desviación estándar será menor, igual o mayor que según comoes menor que, igual o mayor que .m s x s | x - m | s $n$$m$$s$$x$$s$$|x-m|$$s\sqrt{1+1/n}$

Dejando de lado el álgebra (que también funciona) piense de esta manera: la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. La varianza es el promedio de las distancias al cuadrado de la media. Si agregamos un valor más cercano a la media que esto, la varianza se reducirá. Si agregamos un valor que está más lejos de la media que esto, crecerá.

Esto es cierto para cualquier promedio de valores que no sean negativos. Si agrega un valor que es más alto que la media, la media aumenta. Si agrega un valor que es menor, disminuye.

$$Z = \frac{x-\mu}{\sigma} .$$ $x$$Z$$x$ $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}Z_i^2}{N-1}}$$ $\sigma$$Z_N$