¿Cuál es la implicación de la raíz unitaria de MA?

Un proceso ARMA (p, q) es débilmente estacionario, si la raíz de su parte AR no está en el círculo unitario. Por lo tanto, su débil estacionariedad no depende de su parte MA. Pero, ¿qué pueden implicar las posiciones de las raíces de su parte MA?

En las pruebas de raíz unitaria para ARIMA, una raíz unitaria del polinomio MA indica que los datos se sobredifieren. ¿Significa que la serie temporal diferenciada no es débilmente estacionaria? En caso afirmativo, ¿contradice el hecho anterior de que la débil estacionariedad de ARMA no depende de su parte MA?

Para desarrollar algunos de los puntos anteriores, considere diferenciar un proceso siguiendo una tendencia determinista .$y_t=a+bt+\epsilon_t$

$\Delta y_t$ no es invertible, como . Este es un con una raíz unitaria y, por lo tanto, no es invertible. Esto se debe a que la primera diferenciación es el esquema de tendencia "incorrecto" para un proceso estacionario de tendencia.$\Delta y_t=bt-b(t-1)+\Delta\epsilon_t=b+\Delta\epsilon_t$$MA(1)$

Además, tenemos que la varianza a largo plazo de un proceso se puede escribir como como Tenemos para , entonces un con una raíz unitaria. Este es un problema, por ejemplo, porque la varianza a largo plazo es la varianza asintótica de la media muestral, $MA(1)$

$$J=\sigma^2(1+\theta)^2,$$ $$\begin{eqnarray*} J &=& \sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \sum_{j=1}^{\infty}\gamma_j \\ &=& \gamma_0 + 2 \gamma_1 + 0\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2) + 2 \theta \sigma^2\\ &=& \sigma^2(1 + \theta^2 + 2\theta)\\ &=& \sigma^2(1 + \theta)^2 \end{eqnarray*}$$ $J=0$$\theta=-1$$MA(1)$ $$\sqrt{T}(\bar{Y}_T-\mu)\to_d N\Biggl(0,\sum_{j=-\infty}^{\infty}\gamma_j\Biggr),$$ que se usa, por ejemplo, para errores estándar, que no debería ser cero.

Si las raíces del proceso de MA indican una violación, esto puede deberse a una variedad de causas;

1. Sobrediferenciación de Y
2. Redundancia de la estructura AR y MA
3. Variables deterministas omitidas (pulsos / cambios de nivel / pulsos estacionales / tendencias de hora local
4. Transformación de potencia incorrecta
5. Cambios en los parámetros a lo largo del tiempo.
6. Cambios en la varianza del error a lo largo del tiempo
7. Omisión de variables causales especificadas por el usuario

Espero que esto ayude ... por qué la identificación del modelo no es "un paseo por el bosque" y no debería lograrse usando pruebas simples de AIC / BIC sino más bien agresiva / integralmente formulada.

Creo que si está seguro de que el proceso es ARMA, entonces la parte MA no afecta la estacionariedad. Pero si no está seguro de eso, las pruebas de raíz unitaria de la parte MA pueden sugerir que es "probable" que el proceso especificado no sea en realidad ARMA (y, por lo tanto, desearía integrarlo).