Intervalo de confianza para el producto de dos parámetros.

Supongamos que tenemos dos parámetros, y . También tenemos dos estimadores de máxima verosimilitud y y dos intervalos de confianza para estos parámetros. ¿Hay alguna manera de construir un intervalo de confianza para ?$p_1$$p_2$$\hat{p_1}$$\hat{p_2}$$p_1p_2$

Puede usar el método Delta para calcular el error estándar de . El método delta establece que una aproximación de la varianza de una función viene dada por: La aproximación de la expectativa de por otro lado viene dada por: Entonces la expectativa es simplemente la función. Su función es: . La expectativa de sería simplemente:$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$$g(t)$

$$\mathrm{Var}(g(t))\approx \sum_{i=1}^{k}g'_{i}(\theta)^{2}\mathrm{Var}(t_{i})+2\sum_{i>j}g'_{i}(\theta)g'_{j}(\theta)\mathrm{Cov}(t_{i},t_{j})$$ $g(t)$ $$\mathrm{\mathbf{E}}(g(t))\approx g(\theta)$$ $g(t)$$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$$g(p_{1}, p_{2})=p_{1}p_{2}$$p_{1}p_{2}$ g ( p 1 , . Para la varianza, necesitamos las derivadas parciales de : $g(p_{1}, p_{2})$ $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial p_{1}}g(p_{1}p_{2}) & = p_{2} \\ \frac{\partial}{\partial p_{2}}g(p_{1}p_{2}) &= p_{1} \\ \end{align}$$

Usando la función para la varianza anterior, obtenemos:

$$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})=\hat{p_{2}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) + \hat{p_{1}}^{2}\mathrm{Var}(\hat{p_{2}})+2\cdot \hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\mathrm{Cov}(\hat{p_{1}},\hat{p_{2}})$$ El error estándar sería simplemente la raíz cuadrada de la expresión anterior. Una vez que tenga el error estándar, es sencillo calcular un intervalo de confianza del 95% para :$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}\pm 1.96\cdot \widehat{\mathrm{SE}}(\hat{p_{1}}\hat{p_{2}})$

Para calcular el error estándar de , necesita la variación de y que generalmente puede obtener por la matriz de varianza-covarianza que sería una matriz de 2x2 en su caso porque tiene dos estimaciones. Los elementos diagonales en la matriz de varianza-covarianza son las varianzas de y mientras que los elementos fuera de la diagonal son la covarianza de y (la matriz es simétrica). Como @gung menciona en los comentarios, la mayoría de los softwares estadísticos pueden extraer la matriz de varianza-covarianza. A veces, los algoritmos de estimación proporcionan la$\hat{p_{1}}\hat{p_{2}}$$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$ Σ ^ p 1 ^ p 2 ^ p 1 ^ p 2 $\Sigma$$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$Matriz de arpillera (no voy a entrar en detalles sobre eso aquí), y la matriz de varianza-covarianza se puede estimar por el inverso de la arpillera negativa (¡pero solo si maximiza la probabilidad de registro !; vea esta publicación ). Nuevamente, consulte la documentación de su software estadístico y / o la web sobre cómo extraer el Hessian y sobre cómo calcular el inverso de una matriz.

Alternativamente, puede obtener las variaciones de y de los intervalos de confianza de la siguiente manera (esto es válido para un IC del 95%): . Para un -CI, el error estándar estimado es: , donde es el cuantil de la distribución normal estándar (para , ). Entonces,$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$$\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/3.92$$100(1-\alpha)\%$$\mathrm{SE}(\hat{p_{1}})=(\text{upper limit} - \text{lower limit})/(2\cdot z_{1-\alpha/2})$$z_{1-\alpha/2}$$(1-\alpha/2)$$\alpha=0.05$$z_{0.975}\approx 1.96$$\mathrm{Var}(\hat{p_{1}}) = \mathrm{SE}(\hat{p_{1}})^{2}$. Lo mismo es cierto para la varianza de . También necesitamos la covarianza de y (ver párrafo anterior). Si y son independientes, la covarianza es cero y podemos descartar el término.$\hat{p_{2}}$$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$$\hat{p_{1}}$$\hat{p_{2}}$

Este documento puede proporcionar información adicional.

Encontré una ecuación diferente para el cálculo de la varianza del producto.

Si x e y se distribuyen independientemente, la varianza del producto es relativamente sencilla: V (x * y) = V (y) * E (x) ^ 2 + V (x) * E (y) ^ 2 + V ( x) * V (y) Estos resultados también se generalizan a casos que involucran tres o más variables (Goodman 1960). Fuente: Pesticidas de regulación (1980), apéndice F

Coolserdash: falta el último componente V (x) * V (y) en su ecuación. ¿Está mal el libro de referencia (Pesticidas de regulación)?

Además, ambas ecuaciones pueden no ser perfectas. " ... mostramos que la distribución del producto de tres variables normales independientes no es normal ". ( fuente ) Esperaría algún sesgo positivo incluso en el producto de dos variables normalmente distribuidas.

1. La longitud de CI / 2 / 1.96 = se, es decir, el error estándar de A o B
2. se ^ 2 = var, es decir, la varianza de la estimación A o B
3. Utilice el A o B estimado como el medio de A o B, es decir, E (A) o E (B)
4. Siga esta página http://falkenblog.blogspot.se/2008/07/formula-for-varxy.html para obtener var (A * B), es decir, var (C)
5. La raíz cuadrada de var (C) es el se de C
6. (C - 1.96 * se (C), C + 1.96 * se (C)) es el IC del 95% de C

Tenga en cuenta que si sus A y B están correlacionados, también debe considerar su covarianza.