Pregunta sobre ponderación de varianza inversa

Supongamos que queremos hacer inferencia en una realización no observada de una variable aleatoria , que normalmente se distribuye con media y varianza . Supongamos que hay otra variable aleatoria (cuya realización no observada llamaremos de manera similar ) que normalmente se distribuye con media y varianza . Sea la covarianza de y . $x$ $\tilde x$ $\mu_x$ $\sigma^2_x$ $\tilde y$ $y$ $\mu_y$ $\sigma^2_y$ $\sigma_{xy}$ $\tilde x$ $\tilde y$

Ahora supongamos que observamos una señal en , where y una señal en , donde . Suponga que y son independientes. $x$

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$

y

$y$

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$

\tilde{u}

$\tilde u$

\tilde{v}

$\tilde v$

¿Cuál es la distribución de condicional en y ? $x$ $a$ $b$

Lo que sé hasta ahora: utilizando ponderación de varianza inversa,

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$ y

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

Dado que $x$ e $y$ se dibujan conjuntamente, $b$ debería llevar cierta información sobre $x$ . Aparte de darme cuenta de esto, estoy atascado. Cualquier ayuda es apreciada!

meta-analysis bad_at_math
fuente

Esto se ve exactamente como los primeros pasos en la derivación de un filtro de Kalman. Puede mirar la derivación y pensar en la ganancia de Kalman para la actualización de estimación de covarianza del estado. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

EngrStudent

¡Gracias por la respuesta! Leí el documento en su enlace, pero no veo la conexión con el filtrado de Kalman. ¿Alguna posibilidad de que puedas elaborar? Agradezco la ayuda!

bad_at_math

@EngrStudent Si el OP no está familiarizado con el filtro de Kalman, no veo cómo será de mucha ayuda. Tal vez podría explicar cómo abordar el problema sin invocar ninguno de los detalles (o la jerga) involucrados con el KF, aunque quizás haciendo uso de su comprensión para guiar una respuesta sobre los detalles aquí.

Glen_b -Reinstale a Monica el

Publicación cruzada en math.SE here

Glen_b -Reinstate Monica

Respuestas:

No estoy seguro de si las fórmulas de ponderación de varianza inversa se aplican aquí. Sin embargo, creo que podría calcular la distribución condicional de dada y suponiendo que , , y siguen una distribución normal multivariada conjunta. $x$ $a$ $b$ $x$ $y$ $a$ $b$

En concreto, si se asume (de forma compatible con lo que se especifica en la pregunta) que entonces, dejando y , puedes encontrar que

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$

a = x + u

$a=x+u$

b = y + v

$b=y+v$

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (Tenga en cuenta que en lo anterior se supone implícitamente que y son independientes entre sí y también con e .)

u

$u$

v

$v$

x

$x$

y

$y$

A partir de esto, puede encontrar la distribución condicional de dada y usando las propiedades estándar de la distribución normal multivariada (vea aquí, por ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions ). $x$ $a$ $b$

a.arfe
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