Encontrar la varianza del estimador para la máxima probabilidad de la distribución de Poisson

Si son distribuciones iid Poisson con el parámetro he calculado que la estimación de probabilidad máxima es para datos k_1, \ dots, k_n . Por lo tanto, podemos definir el estimador correspondiente T = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n K_i. Mi pregunta es ¿cómo resolvería la varianza de este estimador? ß ß ( k 1 , ... , k n ) = $K_1, \dots, K_n$$\beta$k1,…,knT=

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ $k_1, \dots, k_n$ $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$

En particular, como cada $K_i$ sigue una distribución de Poisson con parámetro $\beta$ , sé, por las propiedades de Poisson, que la distribución $\sum_{i=1}^n K_i$ seguirá una distribución de Poisson con parámetro $n \beta$ , pero qué Cuál es la distribución de $T$ ?

$T$ se distribuye ... como una variable de Poisson escalada por $n$ . Por lo tanto, la varianza de $T$ es $1/n^2 \times n\beta$ .

Recuerde que siempre. Pero, si las son independientes, ¿cuál es el valor de ? Eso es todo lo que necesitas para responder la pregunta.X i C o v ( X i X j

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ $X_i$$\mathbb{Cov}(X_i X_j)$