Condiciones para la existencia de una matriz de información de Fisher

Diferentes libros de texto citan diferentes condiciones para la existencia de una matriz de información de Fisher. A continuación se enumeran varias de estas condiciones, cada una de las cuales aparece en algunas, pero no en todas, las definiciones de "matriz de información de Fisher".

1. ¿Existe un conjunto estándar de condiciones mínimas?
2. De las 5 condiciones a continuación, ¿cuáles se pueden eliminar?
3. Si se puede eliminar una de las condiciones, ¿por qué crees que se incluyó en primer lugar?
4. Si no se puede eliminar una de las condiciones, ¿significa que los libros de texto que no lo especificaron dieron una definición errónea, o al menos incompleta?

1. Zacks, La teoría de la inferencia estadística (1971), p. 194.
   La matriz es positiva definida para todos θ ∈ Θ . $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. Schervish, Theory of Statistics (1997, corr. 2ª impresión), Definición 2.78, p. 111
   El conjunto es el mismo para todos θ . $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. Borovkov, Estadística matemática (1998). pag. 147
   son continuamente diferenciables wrt θ i . $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. 
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. 
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

En comparación, aquí está la lista completa de condiciones en Lehman & Cassella. Teoría de la estimación puntual (1998). pag. 124 :

1. $\Theta$
2. $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$

Y aquí está la lista completa de condiciones en Barra, Nociones fondamentales de estadística matemática (1971). Definición 1, p. 35 :

$\theta\in\Theta$$=0$

$\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

No tengo acceso a todas las referencias, pero me gustaría señalar algunas observaciones sobre algunos de sus puntos:

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• $E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• Es difícil establecer condiciones generales para la existencia de la FIM sin descartar algunos modelos para los cuales la FIM realmente existe. Por ejemplo, la condición de diferenciabilidad no es una condición necesaria para la existencia de la FIM. Un ejemplo de esto es el modelo doble exponencial o de Laplace. La FIM correspondiente está bien definida, pero la densidad no es doblemente diferenciable en el modo. Algunos otros modelos que son doblemente diferenciables tienen FIM de mal comportamiento y requieren algunas condiciones adicionales (consulte este documento ).

Es posible llegar a condiciones suficientes muy generales, pero pueden ser demasiado estrictas. Las condiciones necesarias para la existencia de la FIM no se han estudiado completamente. Entonces, la respuesta a su primera pregunta puede no ser simple.